intégration ,probabilité ,surface de sphère...

[invitec619acd1]

Bonjour à tous !!!
J'ai un exercice assez complexe donné en cour que je n'arrive pas à résoudre malgrès différentes méthodes possibles. Après vous avoir montré l'énoncé , je vous montrerais les hypothèses que j'ai trouvé ne vous découragez pas de toute cette lecture ) :

On vous propose un jeu de dés un peu spécial .Le dé est une boule de 10 cm de diamètre sur laquelle un point rouge est marqué. On lance le dés sur une table (horizontale) et on attend qu'il s'arrête. Le résultat du lancer est la hauteur en centimètres entre le point rouge et la table. Ainsi, le dé prend ses valeurs entre 0 et 10. Vous misez puis vous devez choisir l'une des options suivantes:

- Paris bas: vous pariez que le résultat du dé sera compri entre 0 et 3. Si vous avez raison, vous gagnez 4 fois la mise ( c'est à dire, vous reprenez votre mise, plus trois fois son montant). Sinon, vous perdez la mise.

- Paris haut: vous pariez que le résultat du dé sera compri entre 3 et 10. Si vous avez raison, vous gagnez 1,33 fois la mise (c'est à dire , vous reprenez votre mise, plus le tiers de son montant). Sinon, on perd la mise.
La question est celle -ci : Quelle option choisissez vous?
(Malgré la simplicité de la question, elle nous permettra de comprendre la probabilité que le point marqué soit à telle ou telle hauteur permet de modéliser le mouvement d'une protéine à la surface d'un électrode.c'est un problème clef de physico-chimie).

Donc mes méthodes sont assez différentes:

- 1ère méthode: j'ai calculé le volume de la sphère en réalisant une triple intégrale de 1dr d(téta) d(fi). En le réalisant tout d'abord de la hauteur 0à3 puis de 0à 7. Mais , je me demande au final si le volume est proportionnel à la surface , car le point rouge n'est que sur la surface de la sphère.

-2ème méthode: calculer l'aire de la sphère en sachant que l'aire est égal à 4piR^2. Mais comment trouver en fonction des différentes hauteurs voulues? Comment montere la proportionnalité des 2 paris ?

-3ème méthode: je trouve que c'est elle où l'on peut s'en sortir le plus . Soit un cylindre de même rayon qui englobe tout le cercle. Ainsi, nous pouvons appliquer le calcul de la surface du cylindre , en fonction d'une hauteur précise. mais cela ne sera qu'une approximation , car entre la sphère et le cylmindre , il y aura 4 petits "triangle " avec pour hypoténuse un arc de cercle.

Je me sens un peu perdu dans tout ça. Si vous pouviez m'aider à résoudre ce problème , ça serait super !
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[invite79d10163]

Bonjour j'ai une idée sur ton probleme.

La trajectoire du point de la sphere est en somme assez simple. Lorsque l'on lance la boule, elle parcour une ligne droite car la table est horizontale. Donc le point de la sphere peut décrire soit une cycloide soit une ligne droite au cas limite ou le point se trouve à l'extrémité de la boule au moment du lancé.

A partir de ça tu dois pouvoir calculer ou le point se situe le plus souvent sur la sphere.

[invitec619acd1]

Oui, je suis d'accord avec toi. Mais ce point , il peut se trouver dans deux intervalle différents: soit de [0,3] ou bien [3,10]. Ce que l'on veut savoir en quelque sorte , c'est quelle surface est la meilleure afin d'obtenir le plus de pari gagné . Enfin, je comprend l'énoncé comme ça , il n'est pas très clair dans ma tête !
De plus, comment faire pour caluler cette trajectoire de droite dans une sphère si tu ne connais pas la distance?

[invite986312212]

je verrais les chose comme suit:
1) on peut se limiter à un cercle (ou un cylindre).
2) la boule a roulé une durée aléatoire et on peut supposer que la position du point rouge, repérée par l'angle entre le segment centre-point et la verticale, est distribué uniformément.
3) la hauteur du point rouge au-dessus de la surface est égale à

la question revient donc à calculer la probabilité que h>3 sachant que est uniforme entre 0 et

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Le point rouge est situé sur la sphère, comme tu dis et pas dans le volume. Si tu t'intéresses aux points dont la hauteur est inférieure à h, ils sont sur une calotte sphérique et la probabilité d'y trouver le point rouge est proportionnelle à la surface de cette calotte.
Tu calcules donc cette surface et non le volume.

[yat]

Si on ne part pas dans des considérations de trajectoire et de manière de lancer le dé, on peut considérer que la position du point rouge est distribuée uniformément sur la surface de la sphère.

Concrètement, la probabilité que le point apparaisse dans une zone donnée est proportionelle à la surface de cette zone.

Ce qui donne, pour la question posée, une probabilité que H soit inférieur à 3 égale au rapport entre la surface de la calotte sphérique de hauteur 3 et la surface de la sphère.

EDIT : Grillé.....

[invitec619acd1]

Est-ce que ceci reviendrait alors à calculer l'intégrale de cette sphère avec cette hauteur, mais dans les domaines différents?
Et aussi , comment faire pour calculer toutes les valeurs possibles de téta étant donné que l'angle ne sera jamais le même. on ne peut pas forcément se fier à la verticale si le point rouge se trouve par exemple en haut de la boule. Ca ferait du sinus ou c'est toujours du cosinus?

[yat]

je verrais les chose comme suit:
1) on peut se limiter à un cercle (ou un cylindre).
2) la boule a roulé une durée aléatoire et on peut supposer que la position du point rouge, repérée par l'angle entre le segment centre-point et la verticale, est distribué uniformément.

Si on se limite à un cercle, on suppose qu'à chaque tour le point passe par le point le plus haut et le point le plus bas, ce qui est peu probable dans le cas d'une sphère. LA répartition du point n'est donc pas homogène sur le cercle...

[inviteaf1870ed]

Pour moi la boule a une trajectoire rectligne, donc le point rouge suit une cycloïde. Je ne suis pas sur de l'argument sur les calottes sphériques ?

[invite986312212]

Si on se limite à un cercle, on suppose qu'à chaque tour le point passe par le point le plus haut et le point le plus bas, ce qui est peu probable dans le cas d'une sphère. LA répartition du point n'est donc pas homogène sur le cercle...

peut-être... à mon avis on s'en fiche de la façon dont la sphère a roulé. On pourrait dire que le point de contact de la sphère avec la surface, une fois que la sphère est immobile, est uniforme sur la sphère. Et s'intéresser à la distribution de l'arc point de contact - point rouge, mais ça va revenir à ma solution j'en ai peur.

[yat]

Pour moi la boule a une trajectoire rectligne, donc le point rouge suit une cycloïde. Je ne suis pas sur de l'argument sur les calottes sphériques ?

C'est valable uniquement dans le cas idéal, cité plus haut, ou le point rouge est situé exactement dans le plan vertical contenant la trajectoire rectiligne du centre de la boule. A l'autre extrème, il peut aussi suivre une ligne droite. Mais le cas général se situe entre les deux. Seule l'homogénéité de répartition sur la surface peut donc être exploitée.

[yat]

peut-être... à mon avis on s'en fiche de la façon dont la sphère a roulé.

Exactement. Tout ce qu'on sait, c'est que sa position est répartie sur la surface de la sphère de manière homogène.

On pourrait dire que le point de contact de la sphère avec la surface, une fois que la sphère est immobile, est uniforme sur la sphère. Et s'intéresser à la distribution de l'arc point de contact - point rouge, mais ça va revenir à ma solution j'en ai peur.

Ca m'étonnerait, puisqu'elle est fausse : si ton angle est uniforme entre 0 et , tu ne tiens pas compte de la distance entre le point rouge et l'axe de rotation de la sphère, tu considères qu'elle est toujours de 5. Ca revient bien au cas extrème que j'ai cité deux fois plus haut.

[invite986312212]

Ca m'étonnerait, puisqu'elle est fausse : si ton angle est uniforme entre 0 et , tu ne tiens pas compte de la distance entre le point rouge et l'axe de rotation de la sphère, tu considères qu'elle est toujours de 5. Ca revient bien au cas extrème que j'ai cité deux fois plus haut.

pour moi il n'y a pas d'axe de rotation de la sphère, peut-être que la surface était rugueuse et que la sphère a rebondi un certain nombre de fois de façon erratique, etc. Je sais juste que la sphère repose sur un point quelconque et uniforme de sa surface et je dis que l'arc entre ce point et le point rouge est uniforme entre 0 et (je ne crois pas qu'il y ait du paradoxe de Bertrand là-dessous, mais je peux me tromper)

[invite79d10163]

C'est valable uniquement dans le cas idéal, cité plus haut, ou le point rouge est situé exactement dans le plan vertical contenant la trajectoire rectiligne du centre de la boule. A l'autre extrème, il peut aussi suivre une ligne droite. Mais le cas général se situe entre les deux. Seule l'homogénéité de répartition sur la surface peut donc être exploitée.

Entre les deux... c'est toujours une cycloide. La hauteur du point sur la trajectoire est donné par:
h = R - d cos(t)
ou d est la distance au centre, t le temps.
je pense que d est une variable aléatoire de loi uniforme sur [0,R], t une varaible uniforme sur [0,2pi]. maintenant il faut calculer le loi de probabilité de h.

[yat]

pour moi il n'y a pas d'axe de rotation de la sphère,

Au temps pour moi... mais comme tu commences ta solution par "la boule a roulé une durée aléatoire", ça prète un peu à confusion. Continuons donc.

peut-être que la surface était rugueuse et que la sphère a rebondi un certain nombre de fois de façon erratique, etc. Je sais juste que la sphère repose sur un point quelconque et uniforme de sa surface

Jusque là on est donc complêtement d'accord, mais

et je dis que l'arc entre ce point et le point rouge est uniforme entre 0 et (je ne crois pas qu'il y ait du paradoxe de Bertrand là-dessous, mais je peux me tromper)

Ca c'est faux. Et effectivement, ça ressemble à du paradoxe de Bertrand... tu fais ton tirage aléatoire du point rouge en considérant que l'angle entre le point de contact et le point rouge est uniforme. Si la répartition est aléatoire sur la surface (comme quand on lance un dé, et ce n'est qu'une autre méthode pour le tirage aléatoire), cette propriété est fausse. Comme dans le paradoxe de Bertrand, on obtient des résultats différents en changeant la méthode de tirage. Tu peux t'en rendre compte en faisant le calcul (qui donne tout simplement que la probabilité que la hauteur du point rouge soit inférieuré à 3 est de 3/10), et en comparant avec ta méthode, ou plus simplement en visualisant quelque chose d'évident : si la répartition de l'angle entre le point de contact et la surface était homogène, le point aurait autant de chances de tomber dans une des deux calotes d'angle pi/4 que dans tout le reste de la sphère.

[yat]

Entre les deux... c'est toujours une cycloide.

Selon wikipedia, non. La cycloide est bien la courbe décrite par un point d'un cercle qui tourne, et pas par n'importe quel point du disque correspondant. Une droite, par exemple, n'est donc pas une cycloide. Mais qu'importe, pusique la suite...

La hauteur du point sur la trajectoire est donné par:
h = R - d cos(t)
ou d est la distance au centre, t le temps.

...est juste quand même, on ne va pas tergiverser sur une définition.

je pense que d est une variable aléatoire de loi uniforme sur [0,R], t une varaible uniforme sur [0,2pi]. maintenant il faut calculer le loi de probabilité de h.

la répartition de d n'est certainement pas uniforme sur [0,R]... on en reviendrait à une aberration du même style que celle que je cite dans mon post précédent... je te laisse visualiser la chose pour voir l'erreur.

[yat]

Selon wikipedia, non. La cycloide est bien la courbe décrite par un point d'un cercle qui tourne, et pas par n'importe quel point du disque correspondant. Une droite, par exemple, n'est donc pas une cycloide.

Ou peut-être pas... finalement la définition de wikipedia n'est pas si claire, même si les équations et les schémas décrivent bien ce dont je parle... enfin, là n'est pas vraiment le sujet, puisqu'on est d'accord sur la formule

[invite79d10163]

la répartition de d n'est certainement pas uniforme sur [0,R]... on en reviendrait à une aberration du même style que celle que je cite dans mon post précédent... je te laisse visualiser la chose pour voir l'erreur.

Oui tu as raison puisque le point est situé sur une sphere est non un disque... une distribution aléatoire sur la surface d'une sphere ne correpond plus à une distribution aléatoire apres projection sur un plan.

[invite986312212]

mouais Yat a raison.

[invitec619acd1]

Moi j'ai trouvé totalement autre chose sur un autre point. J'ai pri un cylindre qui englobe toute ma sphère et qui fait donc un rayon de 10 cm également. Sachant que le point rouge peut se trouver n'importe ou sur le cylindre , il suffit de calculer la surface du cylindre en fonction de la hauteur, car, l'aire d'un cylindre sera: 2*pi*r*h. Ou h va varier. dans un premier temps de 0à 3 ; puis de 0 à 7. vu que l'on calcule avec cette méthode aussi bien la surface supérieure qu'inférieure, cette approximation revient à caluler la surface de la sphère.

[yat]

vu que l'on calcule avec cette méthode aussi bien la surface supérieure qu'inférieure, cette approximation revient à caluler la surface de la sphère.

Comment peux-tu en être aussi sur ?

[invitec619acd1]

Nous savons qu'à chaque lancer, le dé prend ses valeurs entre 0 et 10. Le point rouge peut alors se trouver n'importe où sur le cercle . C'est alors que ça n'est pas une question d'angle , mais de hauteur je pense.
Donc , lorsque tu prends la méthode d'un cylindre , dans nos deux intervalles qui sont [0,3] et [3,10], notre cylindre aura forcément 4 coins qui ne font pas parti de la sphère mais du cylindre. Mais comme il y aura cette approximation dans les deux intervalles voulu, on peut dire qu'elle est proportionelle à nos deux calculs.

[yat]

Quel cercle ? Quelle méthode ? Un cylindre ça a des coins ? Quelle approximation ? Et enfin, qu'est-ce qui est proportionnel à quoi ?

En d'autres termes... euh... non, non, je n'ai rien compris... du tout.

[invite986312212]

à ce propos, une anecdote qui m'a été racontée par une personne qui a préparé sa thèse sous la direction de Maurice fréchet (je crois). Fréchet s'intéressait à la distribution de l'aire circonscrite par une courbe aléatoire de longueur fixée (avec quelques conditions de régularité j'imagine), et pour avoir une idée du résultat, il avait fabriqué des boucles de ficelle qu'il jetait du haut d'un bâtiment avant d'aller mesurer l'aire enclose avec un calque millimétré.

pour la sphère, on pourrait expérimenter, par exemple avec celle des boules de billard qui est justement marquée d'un point.

[invitec619acd1]

Attend j'essaye de te l'envoyer graphiquement pour qu'on arrive à voir. désolé je me suis mal expliqué.

[invitec619acd1]

[invitec619acd1]

Donc ,j'ai un cylindre qui fait bien les mêmes proportions que ma sphère. Il suffit donc de calculer la surface du cylindre. hOrs ce que j'essaye d'expliquer par mes mots( je sais pas si vous comprendrez tous) . C'est que la surface globale du cylindre n'est pas la même que celle de la sphère qui se trouve à l'intérieur. Donc , comment faire pour réduire l'aire du cylindre trouvé et l'aire de notre sphère globale?

[invite79d10163]

Je comprend pas pourquoi tu considere un cylindre...

L'aire d'une calotte sphérique est simplement : A = 2 × pi × r × h

mais ça ne t'aidera pas à résoudre ton probleme, je crois.

[invitec619acd1]

L'aire de la calotte sphérique est la même que l'aire du cylindre. (je pensais). Et aussi en faisant des recherches sur internet je suis tombé sur cet énoncé et en bas de page ils ont écrit que les physiciens avient d'abord considéré un cylindre pour trouver la solution. De plus je crois que seul la hauteur de la sphère nous importe. Enfin je sais plus !!

[yat]

Il se trouve effectivement que la surface du cylindre est la même que celle de la sphère, et que la répartition est la même. En raisonnant sur le cylindre, tu aboutiras au même résultat.

Mais pour moi, c'est loin d'être évident, et sans passer par la formule de la surface d'une calotte, je ne vois pas comment on peut le deviner... peut-être que c'est tout simplement intuitif pour toi.