Integrer une fonction discontinue en tout point

[invite7553e94d]

Bonjour à tous.
Une simple question, notons la foncton de dans qui à associe 0 si et 1 sinon.

Cette fonction est-elle intégrable ? Sachant que , que peut-on conclure du nombre , s'il existe ?

Merci de votre aide.
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[invite7553e94d]

Après reflexion, dire que me semble maladroit. Disons que est incomparablement plus grand que

[invite870bfaea]

Salut,

Utilise la caractèrisation de Riemann,
une fonction est intègrable ssi ses points de discontinuités sont négligeables,
et sur R un ensemble est négligeable s'il est dénombrable tel est le cas ici ..

donc .. ?
Mes excuses pour l'orthographe, il est tard.
Cordialement.

[invite7553e94d]

Donc la valeur de l'intégrale est b-a ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

Au sens de Lebesgue cette fonction est intégrable et son intégrale entre a t b vaut b-a.

[invite4793db90]

Salut,

vu le message #1, j'aurais dit a-b...

Cordialement.

[invite10a6d253]

Salut,
Utilise la caractèrisation de Riemann,
une fonction est intègrable ssi ses points de discontinuités sont négligeables,
et sur R un ensemble est négligeable s'il est dénombrable tel est le cas ici ..

Euh, là, elle est pas très Riemann-intégrable la fonction considérée...

[invited5b2473a]

Salut,

vu le message #1, j'aurais dit a-b...

Cordialement.

Oups! Désolé, je n'ai pas fait attention.

[invite6de5f0ac]

Au sens de Lebesgue cette fonction est intégrable et son intégrale entre a t b vaut b-a.

Bonjour,

Intégrable avec la mesure (usuelle) de Lebesgue je suppose? Parce que avec la fonction caractéristique de Q comme mesure on n'a pas le même résultat...

-- françois

[invite7553e94d]

Salut,

vu le message #1, j'aurais dit a-b...

Cordialement.

Oui exact, une inversion de borne :$


Je vous remercie de vos réponses, mais peut être pouvez-vous détailler. Pour cette fonction, je suppose qu'on utilise le fait qu'elle vaut u : x -> 1 sauf en un nombre infini dénombrable de points (les éléments de Q).
Mais qu'en est-il de fonctions plus omplexes, définies partout, mais continues nulle part ?

Merci bien.

[invite9f74ae56]

Sans dire de betises, parce que je m y connais pas trop en axiome du choix; mais pour définir une fonction qui n'est pas mesurable (c'est a dire qui ne rentre pas dans le cadre de la théorie de lebesgue), il faut faire appel a l'axiome du choix.
En gros une fonction que tu peux exprimer "simplement", avec des indicatrices d'intervalles, des racines d'équations sera toujours mesurable, donc une fonction nulle part continue peut très bien etre Lebesgue intégrable, par contre elle ne pourra pas etre riemann intégrable

[invite5e1117d5]

Je dirais que la façon la plus agréable de le dire que est dénombrable. Donc sa mesure de Lebesgue grâce à la sigma-additivté des mesures.

Puisque , l'intégrale .

La mesure de [a,b] privé des irrationnels est donc celle de [a b], i.e b-a

[invited5b2473a]

Bonjour,

Intégrable avec la mesure (usuelle) de Lebesgue je suppose? Parce que avec la fonction caractéristique de Q comme mesure on n'a pas le même résultat...

-- françois

Effectivement