limites limites...

[edpiste]

Je cherche une fonction f croissante, positive (et si possible convexe) telle que



Je pense qu'un truc de la forme où est une fonction bornée oscillante devrait marcher.

Une idée ?
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[rvz]

Je cherche une fonction f croissante, positive (et si possible convexe) telle que



Je pense qu'un truc de la forme où est une fonction bornée oscillante devrait marcher.

Une idée ?

Salut,

Bon, ba, aujourd'huui, pas grand chose. Une remarque toutefois. A eta fixé, si je suppose que pour tout t,
f(t+eta) = b_eta f(t), avec b_eta >1, alors, f_eta (t) = exp(t ln(b_eta)/eta).

Donc ce que j'aurais aimé faire, c'est trouvé une suite telle que ces f_eta ne dépendent plus de eta, ce qui revient à faire ln( b_eta) de l'ordre de eta. Cela implique notamment que b_eta doit tendre vers 1, et donc, ça ne cadre pas avec tes hypothèses.

Pas d'autre réflexion à ce sujet pour l'instant.
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rvz

[indian58]

f(t)=e^t/2.

[rvz]

Euh, je crois que ça tend vers 1.

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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[edpiste]

Merci à tous les deux pour les réponses.

Indian52, dans ton exemple la limite c'est 1. Moi je veux une limite entre 0 et 1.

rvz, je vais regarder plus en détail ton premier poste dès que j'ai un moment. Mais à propos de,

Euh, je crois que ça tend vers 1.

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rvz

attention, pas toujours :

si , alors ça tend vers 1.

par contre si , alors ça tend vers 0.

Je voudrais un truc intermédiaire entre les deux.

[indian58]

Oups! J'ai pas fait attention. Bon pour une fonction de la forme e^at avec a>=0, ça ne va pas.

[edpiste]

C'est pour ça que je pensais à un truc de la forme exp(a(t)t) où a est une fonction bornée mais qui a des oscillations.

[rvz]

si , alors ça tend vers 1.

par contre si , alors ça tend vers 0.

C'est marrant, j'ai regardé les mêmes exemples. Du coup, j'ai eu envie d'essayer des trucs du type exp(t ln(t)), et ça échoue encore.

Bon, par ailleurs, on peut plutot essayer de regarder le module de continuité, et quelque chose me dit qu'on a besoin d'un manque d'uniformité dessus en \eta, sinon on pourrait intervertir les limites et on trouverait 1. Si le module de continuité est trop explosif, (par exemple celui de exp(t ln(t))), ça tend vers 0. Donc faut le faire varier. Effectivement, peut-être que l'un des points clés est que tu demandes UNIQUEMENT une liminf en t. Cela dit, la même question avec des limites est peut-être plus facile à aborder ?

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rvz

[edpiste]

Cela dit, la même question avec des limites est peut-être plus facile à aborder ?
__
rvz

Je suis preneur aussi d'une réponse dans ce cas-là.


Pour eta fixé, je vois bien comment construire un contre-exemple qui fasse converger la liminf vers par exemple 1/2. Le problème, c'est de pouvoir faire ça (à un epsilon de eta près ) pour tous les eta...et je commence à me dire que ça n'est peut-être pas possible. Ce qui rejoint peut-être ce que tu dis sur le module de continuité. Soit le côté surlinéaire de l'exposant tue tout, soit on va toujours converger vers 1 le long d'une sous-suite.

Un autre cas particulier (marche par exemple pour ton exemple en log) pour la route : si



où

alors



et donc la double limite est aussi nulle.

[indian58]

Si on cherche f>0 croissante et convexe, alors le problème revient à chercher g >0, croissante tq l'=lim(eta ->0) lim inf (t->infini) g(t-eta)-g(t) soit réel strictement négatif.

Regardons le cas où f est Cinfini. Donc g étant convexe, t->g(t-eta)-g(t) est décroissante et donc l' n'est autre que
lim (eta ->0) lim (t->infini) g(t-eta)-g(t).
Or g(t-eta)-g(t)=-eta*g'(xi) =-eta*h(eta,t) avec xi compris entre t-eta et t. Supposons que g' admette une limite (réelle ou infinie). Alors elle est nulle (sinon l'=0). Or g est convexe donc g' est croissant mais sa limite est 0. Donc g' est négative et g
est décroissante. donc g est constante mais alors l'=0. Donc g' n'admet pas de limite.

[indian58]

Regardons le cas où f est Cinfini.

On peut même remplacer Cinfini par D1.

[edpiste]

Indian, si g est convexe, g' a toujours une limite (finie ou infinie).

Le problème, c'est qu'on veut juste f convexe, pas g...

[indian58]

Mais g y est.

[edpiste]

J'ai pas compris, g est quoi ? convexe ? en général, non.