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une suite ...tres méchante



  1. #1
    the strange

    une suite ...tres méchante


    ------

    bonsoir,
    je vous propose un probleme qui ne me laisse pas dormir
    soit b_n une suite croissante tendant vers +00
    et soit a_n tel que
    [a_(n) - a_(n-1) ]/[b_n - b_(n-1)] -----> l
    montrer que
    (a_n)/(b_n) ------->l
    j'ai essayé de l'attaquer avec la définition en vain
    en fait je ne comprend pas une notion
    "les valeurs d'adhérence d'une suite"
    voudriez vous m'expliquer cette notion
    cordialement,

    -----
    "En mathématique on ne comprend pas les choses ... on s'y habitue"

  2. Publicité
  3. #2
    Ksilver

    Re : une suite ...tres méchante

    Salut !


    as tu vu des resultat sur les sommation de relation d'equivalence (théorème sur les series) ? (ou le théorème de cesaro peut-etre ?)
    car ton énoncé y ressemble enormement !



    Sinon une valeur d'adherence d'une suite Un, c'est une valeur a telle qu'il existe une sous suite de Un, Uphi(n) qui tendent vers a. par exemple la suite (-1)^n a deux valeur d'adherence +1 et -1 car U2n->1 et U2n+1 -> -1.
    cela signifie aussi qu'on peut trouver une infinité de terme de la suite Un aussi pres qu'on veux de a (par exemple tous reel entre -1 et 1 et valeur d'adherence de sin(n) )

  4. #3
    the strange

    Re : une suite ...tres méchante

    salut!
    nous n'avons pas encore etudié les séries
    et je ne comprends pas le lien avec le lemme de césaro

    a propos des valeurs d'adhérence
    comment rechercher l'ensemble des valeurs d'adhérence
    il est clair que pour une suite convergente il y a une seule valeur d'adhérence.
    je suppose que pour une suite périodique c une infinité
    mais justement comment rechercher cet ensemble?
    cordialement,
    "En mathématique on ne comprend pas les choses ... on s'y habitue"

  5. #4
    Ksilver

    Re : une suite ...tres méchante

    "je suppose que pour une suite périodique c une infinité"

    non pour une suite périodique il y en a un nombre finit (au plus egal à la periode ! )


    "mais justement comment rechercher cet ensemble?">>>
    il y a pas vraiment de methode géneral... a part commencer par ecire "soit a une valeur d'adherence de Un, alors il existe Uphi(n) qui tend vers a... on en deduit des choses... donc a est de la forme/ a verifie.... et on continu : reciproquement soit a telle que -ce qu'on a toruvé precedement- alors a est valeur d'aderence"

    c'est la seul parti en comun de toute les recherches de valeur d'aderence je crois
    il faudrait un exemple je pense ^^



    "et je ne comprends pas le lien avec le lemme de césaro"
    c'est une forme un géneralisé du th de Césaro ; applique a bn=n et tu retrouve Césaro.

    si on apelle Ak et Bk les deux suite de ton énoncé et qu'on pose : a0=A0, ak=Ak-A(k-1), bk=Bk-B(k-1) b0=B0

    alors on a An = somme de k=0 a n des ak
    Bn = somme de k=0 a n des bk.

    et on doit montrer que ak/bk-> l implique Ak/Bk->l

    la suite va énormement ressembler à la démonstration du théorème de Césaro.

    il faut ecrire que ak=bk*(ak/bk) (scoup !)et fromer An/Bn-l = (An-l*Bn)/Bn = [somme des bk*(ak/bk - l) ]/Bn

    et apres c'est parti pour la démo de Césaro :
    prendre un epsilon >0, il exste N telle que k>N implique |(ak/bk)-l|<epsilon

    et apres on coupe la somme du numérateur en deux et on fait comme pour césaro.


    tu t'en sort ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    tize

    Re : une suite ...tres méchante

    Bien vu Ksilver
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  8. #6
    rvz

    Re : une suite ...tres méchante

    Salut,

    Ca ressemble aussi à la règle de l'Hopital (je crois qu'il y a un s quelque part) en discret.

    __
    rvz

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  10. #7
    Ksilver

    Re : une suite ...tres méchante

    effectivement,

    mais c'est surtous un cas particulier des théorème de "somations de la relations d'equivalence" sur les series je pense ^^

  11. #8
    the strange

    Re : une suite ...tres méchante

    bonsoir
    je dis tout d'abord bravo ksilver
    je vais continuer avec ce que vous proposez

    |(ak/bk)-l |<epsilon
    (bk/Bn).|(ak/bk)-l |<(bk/Bn)epsilon

    je passe a la somme puis inégalité triangulaire et grace a l'idée de ksilver
    j'aurai

    |An/Bn - l | < ((Bn - B0)/Bn) *epsilon
    d'ou

    |An/Bn - l | < ((Bn - B0)/Bn) *epsilon
    |An/Bn - l | < (1 - B0/Bn) *epsilon

    Bo/Bn ---> 0
    et on a choisi k>N
    et n>k
    donc POUR epsilon>0 il existe N tel que pour n>N

    |An/Bn - l | < epsilon
    est ce que c'est correct?
    je reviens a ma question
    ou est césaro?
    "En mathématique on ne comprend pas les choses ... on s'y habitue"

  12. #9
    Ksilver

    Re : une suite ...tres méchante

    pas exactement, il faut "couper en deux" comme pour la demo de Césaro.


    tu as : n>N => |(ak/bk)-l |<epsilon

    soit n>N :

    on va avoir apres quelque simplification :
    |An-l*Bn|/|Bn| < |AN-l*BN|/|Bn| + epsilon

    toi tu a aussi majorer les ak/bk quand k etait inferieur a N, tu na pas le droit : il faut les garder (c'est pour sa qu'on coupe en deux)

    on a donc :
    |An-l*Bn|/|Bn| < |AN-l*BN|/|Bn| + epsilon

    quand n->+inf, comme Bn->+inf, le membre de droit tend vers epsilon, donc il existe N2, telle que si n>N2 alors |AN-l*BN|/|Bn| + epsilon <2epsilon

    du coup n>N2 et n>N implique : |An-l*Bn|/|Bn|<2epsilon

    c'est gagné ! An/Bn -> l

  13. #10
    the strange

    Re : une suite ...tres méchante

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message

    et apres c'est parti pour la démo de Césaro :
    prendre un epsilon >0, il exste N telle que k>N implique |(ak/bk)-l|<epsilon



    tu t'en sort ?
    tu as deja supposé que k>N
    et puisque je fait la sommation jusqu'a n j'aurai n>k tu vois ce que je veux dire?
    "En mathématique on ne comprend pas les choses ... on s'y habitue"

  14. #11
    the strange

    Re : une suite ...tres méchante

    ah d'accord je comprends ce que tu veux dire
    justement c la ou monsieur césaro intervient
    je te remercie +00ment
    bis Bald ( a bientot en allemand)
    "En mathématique on ne comprend pas les choses ... on s'y habitue"

  15. #12
    the strange

    Re : une suite ...tres méchante

    mais attends
    je ne trouve pas neither une faille dans mon raisonnement
    je fais de simple itération pour le terme lié a epsilon
    ou est mon erreur?
    j'ai fait la somme normalement???
    "En mathématique on ne comprend pas les choses ... on s'y habitue"

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  17. #13
    Ksilver

    Re : une suite ...tres méchante

    elle est la ton erreur :

    j'aurai

    |An/Bn - l | < ((Bn - B0)/Bn) *epsilon


    la tu as majorer TOUS les ak/bk-l : or tu ne peut majorer que ceux qui verifie k>N : il faut laisser les premier (k<N) on ne peut rien en faire, mais comme ils sont en nombre finit on va pouvoir les "absorber" en passant a la limite (comme dans mon poste precedent), et majorer les autres par epsilon.

    c'est pour sa qu'on coupe en deux : d'un coté la somme de 1 a N, de l'autre de N a n, exactement comme dans la démonstration de Césaro (tu devrait peut etre la relire pour mieux comprendre ?)

  18. #14
    the strange

    Re : une suite ...tres méchante

    l see ,l see
    et c'est ce qu'on fait avec césaro
    justement
    et c grace a ton idée au début ...
    merci Ksilver
    merci,
    "En mathématique on ne comprend pas les choses ... on s'y habitue"

  19. #15
    Ksilver

    Re : une suite ...tres méchante

    juste un point pour etre sur qu'on est d'accord :
    dans toute la demo j'utilise jammais explicitement Césaro en fait. j'utilise juste la meme methode que la démonstration de Césaro.

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