bonsoir,
je vous propose un probleme qui ne me laisse pas dormir
soit b_n une suite croissante tendant vers +00
et soit a_n tel que
[a_(n) - a_(n-1) ]/[b_n - b_(n-1)] -----> l
montrer que
(a_n)/(b_n) ------->l
j'ai essayé de l'attaquer avec la définition en vain
en fait je ne comprend pas une notion
"les valeurs d'adhérence d'une suite"
voudriez vous m'expliquer cette notion
cordialement,
Salut !
as tu vu des resultat sur les sommation de relation d'equivalence (théorème sur les series) ? (ou le théorème de cesaro peut-etre ?)
car ton énoncé y ressemble enormement !
Sinon une valeur d'adherence d'une suite Un, c'est une valeur a telle qu'il existe une sous suite de Un, Uphi(n) qui tendent vers a. par exemple la suite (-1)^n a deux valeur d'adherence +1 et -1 car U2n->1 et U2n+1 -> -1.
cela signifie aussi qu'on peut trouver une infinité de terme de la suite Un aussi pres qu'on veux de a (par exemple tous reel entre -1 et 1 et valeur d'adherence de sin(n) )
salut!
nous n'avons pas encore etudié les séries
et je ne comprends pas le lien avec le lemme de césaro
a propos des valeurs d'adhérence
comment rechercher l'ensemble des valeurs d'adhérence
il est clair que pour une suite convergente il y a une seule valeur d'adhérence.
je suppose que pour une suite périodique c une infinité
mais justement comment rechercher cet ensemble?
cordialement,
"je suppose que pour une suite périodique c une infinité"
non pour une suite périodique il y en a un nombre finit (au plus egal à la periode ! )
"mais justement comment rechercher cet ensemble?">>>
il y a pas vraiment de methode géneral... a part commencer par ecire "soit a une valeur d'adherence de Un, alors il existe Uphi(n) qui tend vers a... on en deduit des choses... donc a est de la forme/ a verifie.... et on continu : reciproquement soit a telle que -ce qu'on a toruvé precedement- alors a est valeur d'aderence"
c'est la seul parti en comun de toute les recherches de valeur d'aderence je crois
il faudrait un exemple je pense ^^
"et je ne comprends pas le lien avec le lemme de césaro"
c'est une forme un géneralisé du th de Césaro ; applique a bn=n et tu retrouve Césaro.
si on apelle Ak et Bk les deux suite de ton énoncé et qu'on pose : a0=A0, ak=Ak-A(k-1), bk=Bk-B(k-1) b0=B0
alors on a An = somme de k=0 a n des ak
Bn = somme de k=0 a n des bk.
et on doit montrer que ak/bk-> l implique Ak/Bk->l
la suite va énormement ressembler à la démonstration du théorème de Césaro.
il faut ecrire que ak=bk*(ak/bk) (scoup !)et fromer An/Bn-l = (An-l*Bn)/Bn = [somme des bk*(ak/bk - l) ]/Bn
et apres c'est parti pour la démo de Césaro :
prendre un epsilon >0, il exste N telle que k>N implique |(ak/bk)-l|<epsilon
et apres on coupe la somme du numérateur en deux et on fait comme pour césaro.
tu t'en sort ?
Bien vu Ksilver
Salut,
Ca ressemble aussi à la règle de l'Hopital (je crois qu'il y a un s quelque part) en discret.
__
rvz
effectivement,
mais c'est surtous un cas particulier des théorème de "somations de la relations d'equivalence" sur les series je pense ^^
bonsoir
je dis tout d'abord bravo ksilver
je vais continuer avec ce que vous proposez
|(ak/bk)-l |<epsilon
(bk/Bn).|(ak/bk)-l |<(bk/Bn)epsilon
je passe a la somme puis inégalité triangulaire et grace a l'idée de ksilver
j'aurai
|An/Bn - l | < ((Bn - B0)/Bn) *epsilon
d'ou
|An/Bn - l | < ((Bn - B0)/Bn) *epsilon
|An/Bn - l | < (1 - B0/Bn) *epsilon
Bo/Bn ---> 0
et on a choisi k>N
et n>k
donc POUR epsilon>0 il existe N tel que pour n>N
|An/Bn - l | < epsilon
est ce que c'est correct?
je reviens a ma question
ou est césaro?
pas exactement, il faut "couper en deux" comme pour la demo de Césaro.
tu as : n>N => |(ak/bk)-l |<epsilon
soit n>N :
on va avoir apres quelque simplification :
|An-l*Bn|/|Bn| < |AN-l*BN|/|Bn| + epsilon
toi tu a aussi majorer les ak/bk quand k etait inferieur a N, tu na pas le droit : il faut les garder (c'est pour sa qu'on coupe en deux)
on a donc :
|An-l*Bn|/|Bn| < |AN-l*BN|/|Bn| + epsilon
quand n->+inf, comme Bn->+inf, le membre de droit tend vers epsilon, donc il existe N2, telle que si n>N2 alors |AN-l*BN|/|Bn| + epsilon <2epsilon
du coup n>N2 et n>N implique : |An-l*Bn|/|Bn|<2epsilon
c'est gagné ! An/Bn -> l
tu as deja supposé que k>NEnvoyé par Ksilver
et puisque je fait la sommation jusqu'a n j'aurai n>k tu vois ce que je veux dire?
ah d'accord je comprends ce que tu veux dire
justement c la ou monsieur césaro intervient
je te remercie +00ment
bis Bald ( a bientot en allemand)
mais attends
je ne trouve pas neither une faille dans mon raisonnement
je fais de simple itération pour le terme lié a epsilon
ou est mon erreur?
j'ai fait la somme normalement???
elle est la ton erreur :
j'aurai
|An/Bn - l | < ((Bn - B0)/Bn) *epsilon
la tu as majorer TOUS les ak/bk-l : or tu ne peut majorer que ceux qui verifie k>N : il faut laisser les premier (k<N) on ne peut rien en faire, mais comme ils sont en nombre finit on va pouvoir les "absorber" en passant a la limite (comme dans mon poste precedent), et majorer les autres par epsilon.
c'est pour sa qu'on coupe en deux : d'un coté la somme de 1 a N, de l'autre de N a n, exactement comme dans la démonstration de Césaro (tu devrait peut etre la relire pour mieux comprendre ?)
l see ,l see
et c'est ce qu'on fait avec césaro
justement
et c grace a ton idée au début ...
merci Ksilver
merci,
juste un point pour etre sur qu'on est d'accord :
dans toute la demo j'utilise jammais explicitement Césaro en fait. j'utilise juste la meme methode que la démonstration de Césaro.
