Théorème de Pythagore

[droupi]

C'est avant tout une conséquence de la physique: on pourrait très bien vivre dans un espace qui ne soit pas homogène, c'est-à-dire tel qu'il n'existerait aucun systèmes de coordonnées dans lequel les propriétés observables semblent simples.

Je dirais plutôt que la physique (théorique) est la conséquence de l'homogonéité du fait de la simplification de l'espace utilisée pour définir nos paradigmes et leurs cadres mathématiques.
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[doryphore]

tu as raison. J'avais déformé la définition à la manière d'un physicien pas toujours très rigoureux....

J'ai remarqué que quand je m'essaye à la physique, je ne suis pas toujours très rigoureux non plus.

[invitef6a8dd1c]

Je ne suis pas d'accord sur le fait que 2 angles droits soient toujours égaux.
En fait, j'utilisais le terme "égaux" au sens d'Euclide (d'après un vieil article de Science & Vie sur les géométries non-euclidiennes), ce qui signifie en fait "superposables".
Dans le cas proposé par Doryphore, on n'a pas des angles droits superposables.
Si on considère un plan, et qu'on se donne, par exemple, 2 vecteurs de base qui forment un angle (pour le produit scalaire canonique) a, soit, si on appelle x et y les vecteurs unitaires usuels, et x' et y' les vecteurs de la base choisie:
x' = x et
y' = cos(a)x + sin(a)y

On se munit du produit scalaire (.|.) t.q (x'|x') = (y'|y') = 1, et (x'|y') = 0
On a pour ce produit scalaire l'angle (x',y') vaut Pi/2, et clairement l'angle(-x',y') vaut aussi Pi/2, alors que pour le produit scalaire canonique, les angles valent respectivement a et Pi-a. Ils ne sont donc pas superposables.
Avec la norme définie à partir du produit scalaire (.|.), le théorème de Pythagore est ainsi valable, alors qu'il ne l'est pas dans "notre" norme canonique (par exemple une distance mesurée avec une règle rigide).
Ma question revient alors à savoir pourquoi, physiquement, nous avons une norme privilégiée.

Je ne sais pas si c'est très clair...

Geoffrey

[doryphore]

Dans le cas que je propose, les angles droits sont bien superposables si on amène un des couples de demi-droites qui définissent ton angle droit sur l'autre couple à l'aide d'application qui sont des isométries dans l'espace euclidien considéré.

Par rapport à notre espace euclidien en revanche tu les verras se déformer, jusqu'à coller l'un à l'autre.

En revanche, pour une personne qui vit dans l'espace euclidien que tu as défini, il ne s'apercevra de rien.

[invitef6a8dd1c]

Mais je ne parle pas d'une personne qui "vit" dans cet espace euclidien, simplement de nous, dans notre espace.
Si je trace un triangle qui est "rectangle" dans cet espace, je ne vérifie pas le théorème de Pythagore avec ma règle, qui correspond à notre norme "naturelle".
Mais justement, pourquoi celle-là en particulier ?

Geoffrey

[droupi]

Tu définis ton angle à partir de ton espace de référence et introduit donc une mesure (en radians) dans cet espace de référence.
Un angle droit est la base simplement définit par le nombre complexe i, définit sur une base orthonormale quelconque.

[doryphore]

C'est normal, la règle est liée à la métrique qui est liée au produit scalaire, donc une règle liée à notre produit scalaire ne peut pas constater l'orthogonalité selon un autre produit scalaire.

Notre espace localement euclidien possède une métrique qui lui est propre, ce qui induit un produit scalaire et un seul. Il n'a rien de particulier. Si tu crois qu'il existe des particularités c'est parce que en tant qu'être vivant dans cet espace euclidien toutes tes expériences sont soumises à cette métrique.

[invitec12706a7]

De toute manière, le choix de la règle dans le monde réel ne change rien puisque toutes les normes sont équivalentes... donc tu peux très bien mesurer autrement, Pythagore reste vrai (en supposant l'espace euclidien, mais ça c'est un problème de physique)

[invitef6a8dd1c]

Ca change quand même. Que les normes soient équivalentes ne veut pas dire qu'elles soient égales.
Considère par exemple la norme 1 dans un plan, et tu te convaincras facilement qu'un triangle "rectangle" (au sens usuel) ne vérifie pas le théorème de Pythagore.

Par contre, l'explication de la métrique me plaît bien.

Geoffrey

[invitec12706a7]

effectivement...

je vais creuser...

[invite5d430acb]

je suis en 1er S et je dois démontrer le théorème de pythagore avec le produit scalaire pourriez-vous ml'aidez?

[martini_bird]

Salut,

calcule le carré de la longueur de l'hypoténuse: ...

Cordialement.

[jarjarbinks]

Bonjour à tous et particulièrement à Rincevent

Je rouvre un fil ancien, pour parler d'angle et d'espace...

tu le vérifieras avec des normes et des angles calculés selon ton nouveau produit scalaire. Par définition, l'angle entre 2 vecteurs x et y est donné par

cos(theta) = <x,y> / (||x|| ||y||)

avec <,> qui est le produit scalaire et || || la norme associée.

En premier lieu, je suppose qu'ilest licite de ré-écrire :
cos(théta) = <x,y> / (<x,x> . <y,y>)^(1/2)
?

De sorte que l'on défini d'abord un espace vectoriel puis on introduit les angles dans cet espace à partir des vecteurs.

Maintenant la question incongrüe...

Pourait-on faire l'inverse ; c'est à dire poser une notion d'angle, et ensuite seulement en inférer une notion de point, ou autre qui pourait en découler ?

Bref, faire de l'angle la notion fondamentale....

pas facile à exprimer car c'est évidemment à contre-pied de tout ce que l'on m'a enseigné.

Merci tout de même de lire mes élucubrations.

José

[GuYem]

Jamais vu définir la notion d'angle avant celle de vecteur.

On parle d'angle "entre deux vecteurs", si on n'a pas encore de vecteurs on va être bien embétés ...

[invite6b1e2c2e]

D'autant plus qu'un angle est une notion clairement bidimensionnelle. Que faire en dimension 1 ? Que faire en dimension 3 ? C'est pas gagné gagné...

Cela dit, en dimension 2, via la transformation polaire classique, tu devrais pouvoir partir des angles et des distances pour arriver à définir des vecteurs.
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rvz