aire d'intersection de 2 ellipses

[invitef15eda31]

Bonjour,

J'aurais voulu avoir une expression analytique de l'aire de recouvrement de deux ellipses de formes différentes faisant un angle alpha entre elles (comme l'ombre d'une feuille elliptique sur celle juste en dessous), f(alpha, a1,b1,a2,b2) (min pour alpha=Pi et max pour alpha=0).
Je ne vois pas comment faire, j'aimerais avoir son expression exacte ! Sous Maple j'ai voulu tracer son graphe en calculant l'aire par une intégrale mais je me suis rendu compte que Maple pouvait pas intégrer sur le domaine en question .

Merci de votre aide !!!
-----

[invite48237d9f]

Est-ce que la question est bien: Quelle est la formule de l'aire formée par l'intersection des deux ellipses?

Si oui, ben j'y reflechi.

PS: je n'ai pas bien compri comment etait l'une des ellipse par rapport a l'autre

[invitebb921944]

Ben logiquement il suffirait d'avoir la fonction de chacune de tes ellipses (qui doit être la même je suppose), tu integres cette fonction du premier point d'intersection au deuxieme point d'intersection et tu multiplies l'aire obtenue par 2.
Non ?
Je vois pas vraiment le problème en fait... Après si tu n'as pas la fonction associée à tes ellipses, je ne sais plus quoi faire...

En fait là je n'ai pas pris en compte l'angle alpha mais je ne vois pâs bien ce que c'est cet angle alpha... un dessin ?

[invitef15eda31]

voilà le dessin
désolé d'avoir répondu aussi tard..bon courage !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Il faut évidemment calculer le 2ème point d'intersection des ellipses, ce qui implique une équation du 2ème degré, par exemple avec des coordonnées polaires.
Ensuite, on peut remarquer que l'amande cherchée est la réunion de 2 demi-amandes inégales qui sont les projections de 2 secteurs circulaires, dont l'aire est celle du secteur circulaire multipliée par b/a ou b'/a'.
C'est laborieux mais ça devrait marcher.

[invitef15eda31]

Je vois bien les deux amandes... je comprends à peu près que pour passer du cercle à l'ellipse il faille multiplier par a/b mais je vois pas comment faire !

[doryphore]

Ca n'a pas l'air d'être un problème très simple.
A première vue, je commencerais par l'intersection de 2 disques et après peut-être voir comment se comporte l'aire en appliquant des affinités.

[invitea3eb043e]

C'est le moment d'être astucieux : en fait, il suffit de calculer l'aire d'une des demi-amandes parce que les 2 ellipses jouent le même rôle : quand tu as l'aire d'une demi-amande, l'autre s'obtient en changeant a en a' et b en b' (puisque alpha est le même).
On peut prendre l'équation paramétrique de l'ellipse du bas :
x= a*(1+ cos(phi)
y = b*sin (phi)
L'équation de l'ellipse inclinée dans son propre repère est
((X-a')/a')^2 + (Y/b')^2=1
Mais on a aussi (changement de repère) :
X = x*cos(alpha) - y*sin(alpha)
Y = x*sin(alpha) + y*cos(alpha)
Tout ça empilé donnera phi (pas forcément simple, mais phi=pi est solution).
Dès lors, l'aire de la demi-amande s'obtiendra comme b/a fois l'aire d'un lune de cercle avec un angle (pi-phi) et un rayon a.

Je te laisse chercher un peu quand même !