Ellipses

[invitee53284f6]

Salut, voilà l'énoncé :

"Soient E une ellipse, F, F' ses foyers, C son cercle principal, M un point de E, et H (respectivement H') la projection orthogonale de F (respectivement F') sur la tangente en M à E.

(1) Montrer que H et H' sont sur C.
(2) Les droites (HF) et (H'F') recoupent le cercle C en deux points notés respectivement K et K'. Montrer que HH'KK' est un rectangle."

Pour la 1ere question j'ai commencé par écrire l'équation du cercle principal (x² + y² = a²) et j'ai dit que MH.FH = 0 et MH'.FH' = 0 (produit scalaire)

En posant M (x₀; y₀) et H(x; y), ça donne (x - x₀) (x - c) + (y - y₀)y = 0
et au bout d'un moment je me retrouve avec x² + y² = c(x - x₀) + x₀x + y₀y

Maintenant faudrait montrer que c(x - x₀) + x₀x + y₀y = a² pour prouver que H est bien sur le cercle C, mais je vois vraiment pas comment faire
(j'ai essayé de me servir de l'équation de la tangente à l'ellipse en remplaçant y par b²/y₀ (1 - x₀x/a²) mais ça m'avance à rien)

D'après le dessin je vois que FH et F'H' sont colinéaires et que b = (y + y')/2 , je peux en tirer quelque chose?


La 2eme question a l'air plus simple, je suppose qu'il faut "juste" démontrer que les vecteurs KH et K'H' sont égaux (puisqu'on sait déjà que HH'KK' a 2 angles droits)

merci d'avance
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[invitee53284f6]

Personne?

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Ta relation n'est valable que pour le cercle centré sur l'origine.
L'équation du cercle principal (ça veut dire quoi au fait "principal" ?) ne serait-elle pas plutôt du style (x-a)² + (y-b)² = R² ?

Pour arriver à cela, il faut passer par la forme canonique...

Duke.

[invitee53284f6]

Salut

En fait l'équation d'une ellipse est X²/a² + Y²/b² = 1 avec a le demi-grand axe de l'ellipse et b le demi petit axe.

Son cercle principal est le cercle de rayon a et dont le centre est le même que celui de l'ellipse (en admettant que l'ellipse est centrée sur l'origine, le cercle le sera aussi...sinon c'est une histoire de changement de repère mais ça revient au même)

On a aussi a² = b² + c² avec c la distance entre le centre de l'ellipse et son foyer

DM à rendre pour demain, ça va être chaud (y'a 9 questions en tout)

merci

[A voir en vidéo sur Futura]