le soldat core pas d'accord (énigme : recheche justification mathématique)
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le soldat core pas d'accord (énigme : recheche justification mathématique)



  1. #1
    invitefbe26600

    le soldat core pas d'accord (énigme : recheche justification mathématique)


    ------

    bonjour,

    je poste dans la partie maths plutôit qu'énigme car je souhaiterai avoir vos idées sur la manière de résoudre de manière rigoureuse celle-ci :
    Un général souhaite faire deux régiments de ses hommes, soit par ligne de 5 soit par ligne de 13.

    chercher la borne supérieur des effectifs pour lesquels ce n'est pas possible (soit N l'effectif total, trouver le plus grand entier tel que N ne puisse s'écrire 5a+13b (a,b) entiers)

    de manière intuitive et par essais je pense que 47 est cette borne supérieur, et je peux ensuite le démontrer par récurrence : par contre, j'aimerai savoir s'il est possible directement de trouver la réponse de facon rigoureuse et quels outils utiliser

    merci de vos suggestions

    cordialement,

    (ps : énigme parue dans le dernier numéro de la recherche)

    -----

  2. #2
    invite4ef352d8

    Re : le soldat core pas d'accord (énigme : recheche justification mathématique)

    Salut!

    on peut commencer par chercher pour n donné l'ensemble des solutions de N=13*a+b*5 avec a et b dans Z et regarder en suite pour qu'elle valeur de N il n'y a pas de solution dans N...

    2*13-5*5 = 1

    donc 13*a+5*b = N admet pour solution particulière
    (2*N)*13 +(-5*N)*b=N

    et comme 5 et 13 sont premier entre eux l'ensemble des solutions de cette equation est
    a=2*N-5*k
    b=13k-5*N
    (résolution d'equation diophantienne)

    bon il reste a savoir pour qu'elle valeur de N il existe k telle que on ai simultanement 2*N-5*k>0 et 13k-5*N>0

    2*N-5*k>0 => k < 2/5 * N
    13k-5*N>0 => k > 5/13 * N

    donc k est compris entre 5/13 et 2/5 et heuresement pour nous 5/13 < 2/5, mais de peu.

    donc il existe un telle k si et seulement si il y a un entier compris entre 5/13 * N et 2/5 * N.

    si 2/5 * N - 5/13 * N > 1 on est sur qu'il y a une telle solution, cela ce produit si N>65

    donc il y a des solution dès que N>65. reste plus qu'a calculer 2/5 * N et 5/13 * N pour tous N entre 1 et 65 pour savoir qu'elle est le plus grand entier pour le quelle il n'y a pas d'entier entre les deux.

  3. #3
    invite4ef352d8

    Re : le soldat core pas d'accord (énigme : recheche justification mathématique)

    j'oubliait : a chaque fois les inégalité etait large .

    et je trouve bien que 47 est le plus grand entier à ne pas pourvoir ce mettre sous cette forme.

  4. #4
    invitefbe26600

    Re : le soldat core pas d'accord (énigme : recheche justification mathématique)

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    Salut!
    2*13-5*5 = 1

    donc 13*a+5*b = N admet pour solution particulière
    (2*N)*13 +(-5*N)*b=N

    et comme 5 et 13 sont premier entre eux l'ensemble des solutions de cette equation est
    a=2*N-5*k
    b=13k-5*N
    (résolution d'equation diophantienne)
    Pardonne ma grande ignorance en arithémtique, mais pourquoi recherche tu une solution particulière et qu'est ce qu'une équation diophantienne ?

    (merci bcp pour ta réponse, je vais m'appliquer à la comprendre )

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitefbe26600

    Re : le soldat core pas d'accord (énigme : recheche justification mathématique)

    ok, c'est bon, j'ai trouvé de quoi rassasier ma curiosité, comment résoudre des équations diophantiennes. Merci encore.

  7. #6
    invite4ef352d8

    Re : le soldat core pas d'accord (énigme : recheche justification mathématique)

    "qu'est ce qu'une équation diophantienne ?"

    le probleme vien de la ^^


    je t'explique ce point.

    on appelle "equation diophantienne" une equation de la forme a*u+b*v = n (les inconus sont a,b)

    on va s'interesser au cas ou u et v sont premiers entre eux (c'est notre cas ici, si il ne le sont pas, il faut soit divier par leur pgcd pour ce ramener au cas précedent, et si n n'est pas divisible par le pgcd il n'y a jammais de solution)

    la methode consiste a comencer par chercher une solution particulier ao, bo, pour ca il y a des algorithmes, mais pas de formules géneral.

    une fois qu'on a cette solution on considere a,b une solution quelconque alors a*u+b*v =n
    a0*u + b0*v = n donc :
    (a-a0)*u + (b-b0)*v = 0

    (a-a0)*u = (b0-b)*v
    u divise (b0-b)*v, et u est premier avec v donc (th de Gauss) u divise (b0-b) : b = b0 +k*u avec k quelconque dans Z.

    on remplace dans (a-a0)*u = (b0-b)*v :

    (a-a0)*u = -k*u*v; on simplifie par u et on obtiens
    a-a0 = -k*v
    a= a0-k*v


    et réciproquement, on vérifie facilement que le couple
    a0-k*v et b0 +k*u est solution quelque soit k.

    c'est ce que j'ai utilisé pour résoudre 13*a+5*b=N

  8. #7
    invite35452583

    Re : le soldat core pas d'accord (énigme : recheche justification mathématique)

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message

    donc k est compris entre 5/13 et 2/5 et heuresement pour nous 5/13 < 2/5, mais de peu.
    Enfin bon ce ne serait pas le cas il n'existerait aucun entier positif ne pouvant s'écrire 13xa+5xb, même pas 5,13,18

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