notion d'intégrale

[invite78bdfa83]

Bonjour, ce serait pour un renseignement sur l'existence de primitive pour toute fonction cotinue:
On sait que toute fonction continue définie sur I intervalle de R admet une primitive sur cet intervalle.
Maintenant la maniere la plus logique de montrer ce théoreme est de construire l'intégrale de Rienmann a partir des fonctions en escalier et de passe au cas des fonctions continues...etc...

Voila ma question : est il possible de prouver que toute fonction continue admet une primitivce sans passer par cette intégrale

( en fait je dois construire une leçon qui définit d'abord une primitive , et ensuite on définit lintégrale d'une fonction continue a partir de cette primitive ( la différence aux bornes ) .on ne peut pas montrer le théorème en passant par lintégrale sinon on se mort la queue...

Merci de me lire jusqua bout.!
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[invitec053041c]

Très bonne question...c'est vrai qu'on utilise Riemann d'habitude mais là ...

[invitedf667161]

Mais là on est coinçés, comme souvent quand on essaye de faire les choses à un niveau élémentaire...

J'attends avec impatience la réponse de spécialiste de la pédagogie ...

[invite4ef352d8]

Salut !

je suis pas du tous un spécialiste de la pédagogie, mais j'ai peut-etre un début d'idée en utilisant les théorème de Weirstrasse trigonométrique ou polynomiale :


-On sait que pour toute fonction continu f et tous segments [a,b], il existe une suite de polynome Pn qui tend vers f uniformement sur [a,b].

-on Sait que tous les polynomes admettent une primitive.

je pense que avec ca on peut s'en sortir :

soit f une fonction continu sur [a,b]. et pn une suite de polynome qui converge uniformement vers f, soit Pn la primitive de pn telle que Pn(a)=0.

alors la suite Pn converge simplement en un point, et la suite P'n converge uniformement vers f , donc on sait grace a un théorème sur les suites de fonction que dans ce cas la suite Pn converge uniformement vers une fonction F telle que F' = f


l'arnaque, c'est que ce théorème doit a coup sur ce montrer en utilisant l'intégration ... mais bon, on peut peut-etre s'en sortir sans...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite22a185a6]

Bonsoir,
peut-être en passant par Cauchy-Lipschitz(je sais pas le montrer donc je sais pas si je mords la queue),
aurevoir

[invite4ef352d8]

Non, je vois vraiment pas comment on peut envisager cauchy Lipschitz sans l'existence de primitive...

[invite22a185a6]

Bonsoir,
je l'ai précisé je ne sais pas montrer ce théorème donc je ne sais pas s'il apporte quelque chose au débat, par contre pour le caractère de base hilbertienne des polynomes trigo (qui donne l'autre Weierstrass) on a besoin d'un produit scalaire défini via une intégrale donc la aussi y a un problème (à moins qu'il y ait une autre démonstration qui n'utilise pas ca),
aurevoir

[invite4ef352d8]

non on peut démontrer Weirstrass trigo sans passer par des intégrales (par exemple en le montrant à partir de Weirstrass Polynomiale ! ). et Weirstrass Polynomial ce montre sans intégral en géneral.

[invite78bdfa83]

ok c'est un début de réponse... je vais gratter pour savoir si cela ce met en place correctement ... c'est quand même des outils puissants pour un probleme supposé bien simple... et ca c'est pas banal...

[invite10a6d253]

Le problème revient à résoudre l'équation différentielle



où f est une fonction continue sur [a,b] et y est de classe C^1 sur [a,b].

Notons que l'unicité de la solution (à constante pret) découle du théorème des accroissements finis.

Pour l'existence, dans l'approche classique comme dans celle de KSilver, on commence par calculer une primitive pour des fonctions simples (des fonctions en escalier dans le premier cas, des polynômes dans le second) puis on utilise un théorème d'approximation des fonctions continues par les dites fonctions.

L'approximation d'une fonction continue par des fonctions en escalier est assez facile à démontrer, à condition d'utiliser l'uniforme continuité de f, qui elle-même découle d'un résultat plus profond sur la compacité.

[invite4ef352d8]

faut voir. la construction classique de l'intégral n'est pas un probleme si simple que sa tous de meme. mais je vois vraiment rien qui permette de montrer l'existence de primitive sans une construction assez complexe, qui en fait dans tous les cas revien un peu au meme mécanisme : on considère une certaine catégorie de fonction, qui dense dans l'ensemble des fonction continu, vis a vis d'une taupologie qui rend la primitivation continu, telle qu'on sache construire des primitives de toute ces fonctions (ou qu'on sache les intégrés...)

dans la constuction classique on utilise les fonction en escalié. la je propose une construction avec les fonction polynomial. et si je me souvien quand on constui l'intégral de Lebesgue on utilise aussi le meme procédé pour prolongé l'intégral des fonction continu au fonction réglé (enfin la je suis pas tres sur de moi... )



edit : devancé par edpist, nous somme d'accord visiblement ^^

[invite10a6d253]

pour l'intégrale de Lebesgue, on approche les fonctions mesurables positives par les fonctions étagées.
pour l'intégrale de Stieljes, on approche les fonctions réglées par les fonctions monotones.

vu que le résultat est équivalent au théorème fondamental de l'analyse et à fortiori à la construction d'une intégrale définie pour les fonctions continues, il est normal de retrouver des difficultés. En tous cas, la compacité doit intervenir à un moment où un autre.

[invite10a6d253]

Et puis c'est pas si compliqué :

[invite35452583]

Bonjour,
une idée inspirée par la proposition de Ksilver mais, je pense, simplifiée. L'autre base de l'idée est ce qu'on cherche à résoudre n'est finalement qu'une équation différentielle y'=f(x) y(a)=y0. Or la méthode d'Euler ne semble pas trop difficile à mettre en place
étape n
F(a)=y0
F(a+1/2^n)=F(a)+f(a)x(b-a)/2^n
F(a+2/2^n)=F(a+1/2^n)+f(a+1/2^n)x(b-a)/2^n
...
F(b)=F(a+(b-a)(2^n-1)/2^n)+f(a+(b-a)(2^n-1)/2^n)/2^n

sur [a et a+(b-a)/2n] l'écart max entre l'étape n et l'étape n+1
lf(a+1/2^(n+1))-f(a+1/2^n)lx(b-a)/2^(n+1)
sur [a+k(b-a)/2^n] et [a+(k+1)(b-a)/2^n]
écart max<=(écart entre étape n et étape n+1 en a+k((b-a)/2^n) + (formule similaire à la précédente)
On majore grace à l'uniforme continuité. Pour la somme des écarts entre l'étape n et m, on tombe sur une somme des termes d'une suite géométrique, d'où suite de Cauchy la fonction est définie. (un peu technique mais sur un théorème de ce type c'est a priori inévitable).
Continuité : convergence uniforme de fonctions continues
dérivabilité : points de la forme x=k/2^n, à partir de l'étape n deux dérivées partielles mais il est facile de montrer qu'elle converge vers f(x)
autres points : à toute étape c'est dérivable avec une dérivée qui converge vers f(a).
L'intéressant c'est que la fin F'=f est facilement compréhensible pour les étudiants.

Cordialement

[invite35452583]

Re,
oups je n'avais pas vu les post d'edpiste.