Equation complexes

[invite173284b8]

Salut à tous,

je suis en train de mettre la dernière main à un devoir maison et je coince sur cette question :
il s'agit de trouver la valeur de A=produit de K=1 à n-1 de sin(kpi/n) après avoir résolu dans C l'équation (z+1)^n=1.
Je trouve que les solutions sont de la forme z(k)=2isin(kpi/n)exp(ikpi/n) avec k variant de 1 à n.
Mais je ne vois pas comment continuer à part peut-être de me servir du produit des racines du polynôme. Pouvez-vous me confirmer le résultat intermédiaire et me donner une indication qui me mettrait sur la voie ?
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Regarde du coté des fonctions symétriques des racines.

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rvz

[inviteaf1870ed]

Salut,

Regarde du coté des fonctions symétriques des racines.

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rvz

Je dirais même plus : il n'y a pas k=0 dans ton produit, or c'est une racine...

[invitec053041c]

moi je penserais à qqchose du genre:
somme de K=1 à n-1 de sin(kpi/n)= somme de K=1 à n-1 de Im(e^(kpi/n))
=Im(somme de K=1 à n-1 de (e^(Pi/n)^k)) ce qui constitue un somme géométrique...
je ne vois pas trop la méthode par résolution de (1+i)^n...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

oups, c'est un produit, au temps pour moi

[invite173284b8]

Salut,

Regarde du coté des fonctions symétriques des racines.

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rvz

salut,

c'est ce que j'ai fait, mais il y a probablement une astuce qui m'échappe encore car j'ai établi en posant X=z+1 et en désignant par X(k) les racines nièmes de l'unité que produit de X(k) pour k variant de 0 à n-1 est égal à (-1)^n-1 mais comment passer de X(k) à z(k) ?

[invite173284b8]

Ca y est j'ai trouvé la solution de cet exercice. L'astuce consistait en partant de l'expression (z+1)^n=1 à utiliser la formule du binôme de Newton pour exprimer le polynôme P(z) puis à écarter la solution triviale z=0 ce qui permet de diviser l'égalité par z.

Merci pour votre aide !

A la prochaine