Intégrale sur un contour fermé d'une fonction analytique ...

[invite0f31cf4c]

Bonjour !
Alors voilà ... Je suis en plein dans les fonctions analytiques et y a un petit point que je ne comprends pas trop ... Et je compte sur vous pour m'aider ! Je pense que c'est pas grand chose, mais bon ...
En fait voilà ... Si on prend une fonction f holomorphe sur un domaine A par exemple, alors elle est analytique et donc, pour tout les contours fermés C dans A, l'intégrale de f sur ce contour C va être nulle.
Pourtant, il y a le théorème des résidus qui permet de calculer la valeur de cette intégrale ... Et dans mon cours, y a rien qui différencie les 2 cas ...
Mais j'ai cherché et en gros voilà ce que j'ai compris :
Si f est holomorphe, l'intégrale sera bien nulle.
Par contre si f est méromorphe (c'est à dire s'il y a des zéros isolés d'ordre quelconque) et que le contour C englobe ces zéros isolés, alors il faut utiliser le théorème des résidus ...
Est-ce cela ?
Merci beaucoup !
L.S.
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[invite35452583]

Mais j'ai cherché et en gros voilà ce que j'ai compris :
Si f est holomorphe, l'intégrale sera bien nulle.
Par contre si f est méromorphe (c'est à dire s'il y a des zéros isolés d'ordre quelconque) et que le contour C englobe ces zéros isolés, alors il faut utiliser le théorème des résidus ...
Est-ce cela ?
Merci beaucoup !
L.S.

Bonjour,
tu as à peu près bien compris.
néanmoins :
1) ce ne sont pas des zéros mais des singularités (ou zéros de 1/f)
1) "il faut" est quand même de trop, on peut aussi calculer à la main ce n'est pas forcément très dur et c'est même indispensable pour montrer le théorème des résidus
2) le contour C peut n'englober qu'une partie de ces singularités

[invite4793db90]

Salut,

aux très judicieuses remarques d'homotopie (comme à son habitude) j'ajouterais un :

3) quand le contour passe par des points singuliers, on ne peut rien dire en général.

Cordialement.

[invite0f31cf4c]

Ok merci ... En fait, entre-temps, j'avais cherché et du coup Wikipedia dit que le théorème des Résidus est en quelque sort une généralisation du théorème de Cauchy ... Ce qui confirme un peu tout ce que je pensais.
Mais en lisant ta réponse, j'ai une autre question ... Tu dis que le contour C peut n'englober qu'une partie de ces singularités ... Et bien est-ce qu'il peut en englober aucune ?
Et autre petit question qui n'a pas trop à voir ... Comment peut écrire formellement que z est à l'interieur de C ? z € interieur(C) ?
Merci !
L.S.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Et bien est-ce qu'il peut en englober aucune ?

Tout à fait : tel est le cas d'une brave fonction polynôme sur n'importe quel contour fermé dans . L'intégrale est par conséquent nulle.

Comment peut écrire formellement que z est à l'interieur de C ? z € interieur(C) ?

L'intérieur d'une partie se note souvent .

Cordialement.

[invite35452583]

Ok merci ... En fait, entre-temps, j'avais cherché et du coup Wikipedia dit que le théorème des Résidus est en quelque sort une généralisation du théorème de Cauchy ... Ce qui confirme un peu tout ce que je pensais.
Mais en lisant ta réponse, j'ai une autre question ... Tu dis que le contour C peut n'englober qu'une partie de ces singularités ... Et bien est-ce qu'il peut en englober aucune ?
Et autre petit question qui n'a pas trop à voir ... Comment peut écrire formellement que z est à l'interieur de C ? z € interieur(C) ?
Merci !
L.S.

Commençons par la deuxième question :
un contour fermé dans c (ou R²) définit deux composantes connexes (théorème de et là le trou ) une non bornée appelée extérieur et une bornée appelée intérieur. (sur une figure c'est évident, à démontrer c'est plus dur )
Un moyen de repérer que z est intérieur est que l'intégrale le long de C de 1/(Z-z) n'est pas nulle.

1ère question : f est alors holomorphe sur l'intérieur de c et l'intégrale est donc nulle.

[invite4793db90]

un contour fermé dans c (ou R²) définit deux composantes connexes (théorème de et là le trou )

En toute généralité, c'est dû à Jordan. Après tu penses peut-être à des cas particuliers ?

Cordialement.

[invite35452583]

En toute généralité, c'est dû à Jordan. Après tu penses peut-être à des cas particuliers ?

Cordialement.

Non, Jordan était mon "trou" (ça m'apprendra à le confondre avec un basketteur )

aux très judicieuses remarques d'homotopie (comme à son habitude)

Au fait, merci

[invite0f31cf4c]

Je viens de lire toutes vos réponses et je vous remercie de m'avoir aidé !
++
L.S.