Bonjour, j'aimerais évaluer l'intégrale de contour suivante :
où
Mon but est d'utiliser le lemme suivant: Si
merci !
1/z² a un pôle double : 0.
Tu as choisi le mauvais contour; tu dois prendre un demi cercle de rayon R + + un demi cercle de rayon epsilon + deux segments de droite reliant les deux demi-cercles.
De plus le théorème des résidus est valable pour tout pôle.
en fait, c'est ce que j'ai fait : demi-cercle de rayon R, demi-cercle de rayon r (ou epsilon) et les deux segments de droite. J'ai juste pris en particulier le cas du demi-cercle de rayon r car j'ai séparé mon intégrale en 4 parties comme tu me l'a suggéré.
Mais je ne comprends pas,Qu'est-ce qui est zéro ?1/z² a un pôle double : 0
merci pour votre aide
Je comprend rien de ce que tu essai de faire.
1/z² admet une primitive : -1/z donc l'intégral de 1/z² sur n'importe lacet allant d'un point a a un point a est (1/a-1/b), donc ton intégral tend vaut bien 2/r
le lemne que tu énonce ne s'applique que si la fonction à un pole d'ordre inférieur ou égal a 1, mais 1/z² à un pole double en 0...
et les deux segments de droite >>> l'intégral sur les deux segments de droite n'est pas définit aussi... (ele est divergente)
Ce que je veux faire c'est évaluer
Sépare pas. Regarde du côté des séries entières.Envoyé par Maquessime
Ce que je veux faire c'est évaluer
c'est pas une trés bonne idée Indian : t'as une intégral convergente et tu la sépare en deux intégral divergente.... je doute que ca te mène tres loin !
sinon, avec des série de fourier c'est assez rapide : tu calcule la série de fourier de la fonction constante égal a 1 sur [-1,1] et 0 sur le reste de R, et tu applique la formule de parseval (qui relie intégral de |f|² a l'intégral de |F|² )
Il faut dire que je suis dans un contexte de cours d'analyse complexe
En fait, si vous pouviez m'éclaicir sur le concept de pôle simple, je crois que je pourrais m'en sortir. Est-ce que 1/z^2 est à un pôle simple ? Un pôle simple est bien que les exposants négatifs ne vont pas plus bas que -1 dans le développement de Laurent ?
oui, un pole simple c'est quand il y a rien apres le terme en 1/(z-a) (donc pas de terme en 1/(z-a)² )
1/z² n'as pas de pôle simple mais un pôle double, à savoir 0.
Prends un arc de cercle de rayon R, l'angle variant de -a à (\pi + a) (avec a "petit"). Ferme le contour par un segment horizontal (qui, donc, évite l'origine). L'intégrale de la fonction sur ce contour (comme sur n'importe quel autre contour fermé) vaut 0. De plus, quand R tend vers l'infini, l'integrale de la fonction sur le segment inférieur tend vers -l'integrale sur la droite réelle.Ce que je veux faire c'est évaluer
Maintenant, on utilise la formule sin^2 (x)= 2 (1+cos (2x)). On doit donc intégrer sur l'arc de cercle 1/x^2, cette intégrale tend vers 0 quand R tend vers l'infini, et vaut 0 sur le contour, donc pas de contribution de ce terme. Reste le terme en cos(2x)/x^2. Son intégrale sur le contour se calcule au moyen des résidus, et son intégrale sur l'arc de cercle tend vers 0 quand R tend vers l'infini.
Au total, ton intégrale vaut -i\pi.(Residu (e^(2iz)/z^2) en 0)=\pi.
C'est aussi ce que l'on trouve avec la méthode de Ksilver, qui utilise la TF.
Bon supposons une autre situation,
merci beaucoup
ca sera infinit, a cause du pole d'ordre 2.
par exemple, forme la différence entre ta fonction et 1/z² et étudie l'intégral de la différence pour t'en convaincre.
