Projection contour sur surface 2D

[invite50625854]

Bonjour à toutes et tous,

Voilà, je dispose d'une conique (une surface dans un espace 3D).
Plus précisement c'est un ovoloïde de type dans 0,x,y,z : x²/a²+y²/b²+z²/c²+2xy/d²+2xz/e²+2*yz/f²= 1 (centré en zéro)

Je souhaite faire la projection de cette ovoïde sur un plan, plan de type : n*x+l*y+o*z = 0 (passe par zéro)

Ce que je souhaite obtenir c'est la projection orthogonale de l'ellipsoïde sur le plan.
Si j'attache un repère orthonormale O,X,Y au plan P, je souhaiterais avoir l'équation de l'éllipse (contour de la projection de l'ovoïde) dans le plan 2D.
Une équation du type : X²/a² + Y²/b² = 1 exprimé dans le repère du plan.

Quelqu'un aurait il une idée de comment faire ?
-----

[cedbont]

Bonjour,
au début, tu as l'équation de l'ovoïde C et l'équation du plan P sur lequel tu veux projeter C. L'ellipse obtenue sera la même que celle obtenue en faisant l'intersection de C avec le plan parallèle à P et passant par le centre A de C. Tu peux donc calculer cette intersection et ensuite tu simplifie son équation en posant un repère d'origine A et d'axes bien choisis.

[invite4af455c2]

Autre possibilité , peut être plus naturelle :
- Tu as une forme quadratique
- Je te propose de faire un changement de repère en prenant 2 vecteurs de ton plan (non colinéaires cela va de soi) et la normale a ce plan.
- On auras donc une nouvelle équation avec X,Y et Z
- C'est cette dernière composante que l'on souhaite annuler et tu auras ton équation de projection.

[invite50625854]

Merci à vous deux,
La solution d'Ashrak me parait plus facile, si je comprends il suffit d'exprimer l'ovoloïde dans un repère O,X,Y,Z, j'obtient une nouvelle ovoïde.

Pour obtenir l'équation dans le plan, suffit il simplement de prendre l'expression trouvée dans laquel on retire Z. On pose Z=0 ?

Ne risque t'on pas d'obtenir l'intersection de l'ellipse avec le plan ?
Au lieu d'obtenir "l'ombre" de l'ovoïde projeté sur ce plan ?

Par exemple en imaginant un ovoloïde très allongé il peut très bien couper OXY en forme de cercle alors que si on projète tout l'objet, on retrouve un objet allongé... Il suffit que le très grand axe de l'ovoïde soit non perpendiculaire au plan.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4af455c2]

Ici on a une conique centrée donc le repère naturel sera O,X,Y,Z et cela te donnera directement l'équation du projeté en prenant Z=0.
Dans le cas d'une conique ou surface plus "bizarre" il faudrait chercher le maximum de l'aire des intersections , de façon analytique j'ai pas encore trouvé désolé .

[invite50625854]

La conique est certes centrée, mais elle n'est pas forcément dans sa base propre. Les termes croisés sont présent. Tu penses que c'est pas un problème dans mon cas ?

Encore merci.

[invite4af455c2]

Ils ne posent pas de problèmes pour moi , en posant Z=0 une partie vont se simplifier et tu obtiens l'équation de la figure de projection dans le plan 2D classique.