distribution conjointe

[invitea5872536]

Bonjours,

On me donne deux v.a. uniformes U1 et U2 sur l'intervalle (0, 1).

On pose Z1 = [-2ln(U1)]^1/2*cos(2pi*U2) et Z2 = [-2ln(U1)]^1/2*sin(2pi*U2)

On me demande de trouver la distribution conjointe de Z1 et Z2.


Ma démarche:

Vu que je ne sais pas comment mettre U1 et U2 en terme de Z1 et Z2, pour le jacobien j'ai utilisé J(z₁,z₂ -> u₁,u₂)

Cela ma donné 2pi, ce qui me semble bon.

Maintenant, vu que la densité conjointe de U1 et U2 est 1, comment exprimer cette fonction en terme de Z1 et Z2 ?

Et une autre question, je ne me trompe pas en disant que les domaines sont -infini <= z₁ <= infini et -infini <= z₂ <= infini ?
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[invitedf667161]

Salut,

Pour ta dernière question, il me semble que tes deux variables z_1 et z_2 sont minorées.

J'ai une (deux) questions : U_1 et U_2 sont-elles indépendantes ? Si non, comment as-tu fait pour calculer la densité conjointe de U_1 et U_2.

Qu'est-ce-que cette histoire de Jacobien ? N'est-il pas dans le mauvais sens ?

Désolé de répondre par des questions !

[invite986312212]

en tout cas, le résultat est connu, c'est la base de la méthode de Box et Müller pour obtenir des variables normales.

[invitea5872536]

Tu as raison, en fait, je ne sais pas si U_1 et U_2 sont indépendantes donc je n'ai pas le droit de faire ça...

Pour le Jacobien;

si j'ai z_1=g_1(u_1,u_2) et z_2=g_2(u_1,u_2) on peut faire la transformation inverse u_1 = h_1(z_1,z_2) et u_2 = h_2(z_1,z_2)et
ensuite, pour avoir la densité conjointe de Z_1 et Z_2, on fait f_Z1Z2(u_1,u_2) = f_U1U2(h_1(z_1,z_2), h_2(z_1,z_2))*J(u_1,u_2 -> z_1,z_2)
ou aussi on peut faire
f_Z1Z2(u_1,u_2) = f_U1U2(h_1(z_1,z_2), h_2(z_1,z_2))*J^-1(z_1,z_2 -> u_1,u_2)

J'avais écrit «J» au lieu de «J^-1», je m'en excuse.

Ce que j'aimerais savoir, c'est comment trouver f_Z1Z2(u_1,u_2) = f_U1U2(h_1(z_1,z_2), h_2(z_1,z_2)) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea5872536]

Et biensur, J-1(z_1,z_2 -> u_1,u_2) doit être réecris en terme de z_1 et z_2.

[invite986312212]

regarde et

[invite9cf21bce]

Salut !

J'ai trouvé pour le jacobien, pas .

(Si je ne m'abuse ça donne pour le jacobien réciproque, vu que )

[invitea5872536]

Merci beaucoup! J'ai refais le jacobien et tu as effectivement raison.

Maintenant, pour le reste, avec le commentaire de ambrosio et le tiens je crois que ça va aller pour trouver le reste de la solution.

Merci encore à tout le monde!