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noyaux



  1. #1
    jameso

    noyaux


    ------

    salut à tous ;

    en travaillant sur les séries de Fourier on rencontre les "noyaux" de Dirichlet, Poisson ou Fejer...
    ma question est de savoir pourquoi on les appelle ainsi ? y-a- t-il un lien avec de l'algèbre linéaire ou alors je me trompe complètement je n'en sais rien au juste...

    De plus quelles sont les propriétés de ces noyaux?
    si qqn a une idée...
    merci
    A+

    -----

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  3. #2
    doryphore

    Cool Re : noyaux

    Ca sort un peu de mon domaine de compétence, mais je crois que les noyaux de Dirichlet sont un type de "noyaux trigonométriques" qui seraient eux-même un genre de "noyau de convolution".

    En tout cas, à première vue ça n'a aucun rapport avec les noyaux de l'algèbre linéaire.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  4. #3
    Krav-maga

    Re : noyaux

    Pour ce qui est du noyau de Dirichlet, ce n'est pas à proprement
    parler un noyau au sens analytique, puisqu'il n'annule pas
    d'endomorphisme.

    En fait il apparaît lorsque tu développe Sn(f)(t) (série de Fourier):

    Sn(f)(t)= 1/Pi * intégrale[0;2Pi]de f(u) (1/2 + somme[1<k<n] de
    cos(ku)cos(kt)+sin(ku)sin(kt)
    )du

    La partie en rouge, notée Dn(u) est le noyau de Dirichlet:
    Dn(x)= 1/2 + somme[1<k<n]de cos(kx)


    Ici, noyau a un sens bien français, c'est le gros block qui va te servir à avoir les informations sur Sn(f).

    Soit dit en passant, la meilleure façon de calculer ce noyau est d'utiliser la décomposition du cos en exp, de changer ainsi la somme
    puis de refaire apparaître du sin.

  5. #4
    jameso

    Re : noyaux

    bonjour,et merci pour vos réponses;

    en fouillant un peu le sujet j'ai cru comprendre qu'on pouvait résoudre des équations aux dérivées partielles en utilisant les noyaux...
    on parle également des "distributions"
    Si qqn peut m'expliquer en quoi consiste cette théorie des distributions à travers un exemple... je serai intéressé

    merci
    A+

  6. #5
    Quinto

    Re : noyaux

    La théorie des distributions c'est la "dérivation selon Laurent Schwarz".
    Ca permet de dériver presque tout "ce que tu veux".
    Ca "arrange" bien les physiciens, un peu comme les hyperéels pour les limites...

    Tient j'ai trouvé ca sinon:
    http://www.meca.unicaen.fr/Enseignem...00000000000000
    Dernière modification par Quinto ; 27/07/2004 à 11h23.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    jameso

    Re : noyaux

    merci à toi;

    en regardant un article sur l'equation de la chaleur
    je lis:"pour l'equation de la chaleur les fonctions exp(-w²t+iwx) sont des solutions elementaires.En integrant par rapport à dw on obtient les distributions gaussiennes (1/sqrt(2Pit)) exp(-x²/2t) qui expriment la loi au temps t du mouvement brownien(?) lineaire qui part de x=0 au temps t=0..."

    on appelle cette solution noyau de la chaleur apparemment

    je ne comprends pas bien l'integration pour obtenir la distribution gaussienne?

    Alors si qqn y voit plus clair que moi...

    Amicalement
    jameso
    A+

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  10. #7
    jameso

    Re : noyaux

    salut,
    en travaillant sur les distributions j'ai cru comprendre que les distributions généralisaient la notion de fonction (une distribution étant une forme linéaire continue sur un espace de fonctions :les fonctions test...)

    mais quelles sont les applications concrètes des distributions?
    je crois qu'on s'en sert pour résoudre des equations différentielles du syle equation de la chaleur ,equation hyperbolique...

    pouvez vous m'en dire un peu plus...
    A+

  11. #8
    doryphore

    Smile Re : noyaux

    En fait, je sais que ça permet de légitimer pas mal d'opérations mathématiques effectuées par les physiciens sans justification théorique jusqu'à leur invention.

    Ca doit aussi servir en théorie du signal et je crois que le delta de Kronecker est une distribution.

    Hélas, je n'en sais pas beaucoup plus.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  12. #9
    jameso

    Re : noyaux

    je te remercie quand même...
    jameso
    A+

  13. #10
    gargulp

    Re : noyaux

    en physique, les "dirac" sont aussi des distributions...
    et je ne peux t'en dire bcp + sur le sujet, si ce n'est que les distributions sont couramment enseignées aux 4 coins de la planète (appliquées en particulier au traitement du signal); c'est une théorie très "importante".
    Modélisez le climat avec votre PC en
    participant au projet climateprediction.net !

  14. #11
    Stephen

    Re : noyaux

    L'idée d'une distribution, c'est de généraliser la notion de dérivée aux fonctions qui ne le sont pas au sens strict, de telle manière bien sûr que lorsqu'elles le sont les notions coincident.

    Ca se fait de la manière suivante : on commence par définir une distribution comme une forme linéaire sur les fonctions à support compact, et on identifie des distributions particulières, nommées distributions régulières, définies par une intégrale. Ensuite, on définit la dérivée d'une distribution en s'inspirant de la formule d'intégration par partie. Finalement, on établit un lien fort entre les distributions régulières. Je le fais proprement, sur (mais ça se généralise facilement aux dimensions supérieures en parlant de dérivées partielles), pour que cela soit plus clair :

    Le support d'une fonction f est l'adhérence de l'ensemble des points où elle prend une valeur non nulle.

    Une distribution sur un ouvert U de est une forme linéaire continue (i.e. bornée) sur l'ensemble des fonctions dont le support est compact et contenu dans U (le support est l'adhérence de l'ensemble des points où la fonction est non nulle).

    Ainsi, on veut juste une application linéaire bornée, qui retourne un réel lorsqu'on lui donne un type de fonction particulier.

    Un exemple de distribution est le suivant : je prends une fonction f localement intégrable sur l'ouvert U, c'est à dire que son intégrale sur tout compact contenu dans U est finie. Je lui associe la forme linéaire qui à chaque fonction infiniment différentiable à support compact contenu dans U associe le réel . On arrive à montrer qu'il s'agit bien d'une distribution, c'est à dire qu'elle est linéaire (facile) et bornée (pas trop dur non plus). Une telle distribution est appelée régulière, et on a le résultat suivant, qui découle du théorème de la convergence dominée :

    Deux distributions régulières sont égales si, et seulement si, f et g sont (presque partout) égales. Ainsi, lorsque l'on parle de distributions régulières, la fonction est univoquement déterminée par la distribution.

    Maintenant, je peux définir la [i]dérivée d'une distribution[/tex] de la manière suivante : soit T une distribution (non nécessairement régulière). La dérivée de T est l'application suivante : . On montre facilement que est encore une distribution.
    Dans le cas des distributions régulières, où f n'est plus seulement localement intégrable mais dérivable, la formule d'intégration par parties permet de voir que , et ainsi la notion de dérivée au sens des distribution et de dérivée coincident.

    On a ainsi étendu la dérivée aux fonctions localement intégrables, de manière cohérente, et grâce au théorème d'égalité cité plus haut on voit que la dérivée de la distribution détermine de manière univoque la dérivée de la fonction dans le cas où celle-ci est différentiable. Voyons par exemple le delta de Dirac, qui est la distribution suivante :

    . Il est facile de voir qu'il s'agit bien d'une distribution, et que ce delta est la dérivée au sens des distributions de la fonction de Heavyside.

    La théorie des distribution est une théorie d'une élégance et d'une simplicité époustouflantes, et d'une grande utilité. Par exemple, elle permet de donner un cadre formel à l'établissement des équations aux dérivées partielles issues de problèmes de dynamique des fluides ou de problème de membranes : en effet, l'intégration contre les fonctions test sur les espaces de Sobolev n'est rien d'autre que la traduction de l'équation au sens des distributions (en utilisant la densité des Sobolev à trace nulle dans les fonctions à support compact).

    J'ai tapé un petit document en tex à ce sujet. Je viens de me rendre compte que j'ai perdu la source (mon superviseur de l'époque doit encore l'avoir), mais il me reste le ps et le pdf. Il suffit de m'envoyer un MP avec un mail et je peux le faire parvenir.

    Amicalement,
    Stephen
    Dernière modification par Stephen ; 14/08/2004 à 11h52.

  15. #12
    jameso

    Re : noyaux

    je te remercie (encore) stephen;

  16. Publicité
  17. #13
    jameso

    Re : noyaux

    salut,

    il y a un petit truc qui m'embète:

    je suis d'accord avec la relation: T_f'(phi)=-T_f(phi') pour les distributions régulières ; mais j'ai du mal à comprendre comment on passe ensuite à la définition de la dérivation des distributions quelconques : T'(phi)=-T(phi')

    en fait je ne vois pas bien comment les distributions généralisent la dérivation...?

    merci
    jameso
    A+

  18. #14
    Stephen

    Re : noyaux

    Je ne comprends pas trop où tu coinces en fait. Je vais essayer de tout faire en détail, même là où tu as parfaitement compris, comme ça on sera au clair.
    On fait la chose suivante : pour une fonction dérivable f, on a



    Maintenant, on a aussi, en remarquant que est localement intégrable :



    Et on intègre par parties, en se souvenant que est à support compact : elle s'annule donc au voisinage de l'infini, et ainsi le terme de bord est nul :



    Cette démarche nous suggère de définir, pour toute distribution , une "dérivée" de la manière suivante : (on vérifie qu'il s'agit bien d'une distribution).

    L'intérêt est le suivant : comme je l'ai dit, deux distributions régulières sont égales si, et seulement si, les fonctions qui les définissent sont presque partout égales.

    Ainsi, on a la chose suivante : si j'ai une fonction f, je peux lui associer de manière univoque une distribution, que je peux dériver dans un certain sens. Si la fonction de départ était dérivable, la dérivée au sens des distributions détermine univoquement la dérivée de la fonction. C'est en ce sens que la notion de dérivée des distribution généralise la notion de dérivée : à une fonction, j'associe une distribution, que je peux toujours dériver, et qui colle avec la distribution de la dérivée si la fonction de départ est dérivable.

  19. #15
    jameso

    Re : noyaux

    ok, j'ai bien saisi l'idée du raisonnement mais la seule chose que je ne vois pas c'est pourquoi , après l'integration par parties, le T_f'(phi) se "transforme" en T'_f(phi);

    en gros pourquoi après l'IPP, T_f'=T'_f

    c'est peut-être tout bète mais ça méchappe....

    cordialement
    jameso

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