racine carrée complexe et branche de coupure

[invite3e5ede0a]

Bonjour à tous,

La plupart des librairies de calcul (par exemple matlab ou python numpy) définissent la valeur principale de la racine carrée d'une nombre complexe z=x+iy comme étant :



ou bien, si la fonction log pour un complexe n'est pas codée : (source wikipedia)



Cette définition utilise une branche de coupure placée sur le demi-axe x<0 et impose donc que l'argument de z soit compris entre -pi et +pi.



Ma question est la suivante : je souhaite comprendre comment positionner la branche de coupure pour assurer la décroissance de l'exponentielle suivante quelque soit la valeur de z :



En posant z^(1/2)=a+ib, on a :



Donc il est nécessaire que b, la partie imaginaire de z^(1/2), soit toujours négative pour que l'exponentielle soit décroissante.

Dans ce cas, comment choisir la branche de coupure adaptée et surtout, comment "coder" le calcul de la racine carrée complexe utilisant ce choix de branche.

Question subsidiaire : même question, pour assurer la décroissance de :





Merci d'avance pour vos réponses ou vos idées sur la question,



JH
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[invite35452583]

Bonjour,

désolé de répondre par une question qu'entends tu par décroissante pour une fonction complexe ?

Cordialement

[invite3e5ede0a]

désolé de répondre par une question qu'entends tu par décroissante pour une fonction complexe ?

Si on écrit l'exponentielle sous la forme :

exp(-i z^(1/2)) = exp(i a) * exp(b)

et que b est négatif, alors l'exponentielle oscillante va être atténuée par l'exponentielle réelle lorsque b va tendre vers -inf...

Je sais pas si je suis clair

On peut rajouter un paramètre pour préciser les choses :

limite de exp(-i z^(1/2) u) quand u tend vers +inf = 0 (avec b négatif)

[invite35452583]

Rapidement en z=R- aussi mais avec l'opposé du précédent mais cela ne coverge que pour udonné

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Rapidement en z=R- aussi mais avec l'opposé du précédent mais cela ne coverge que pour udonné

Re,
plus complètement :
la définition utilisée précédemment fait le choix (cohérent pour avoir une fonction holomorphe) de prendre la racine avec Im(z)>0, l'opposée de la même fonction est aussi une fonction racine avec la même coupure.
Cette dernière pour assurer une limite nulle de exp(-i z^(1/2) u) quand u tend vers +inf = 0 pour z donné (erreur tout à l'heure à vouloir faire vite désolé : c'est z fixé et non u) mais la convergence n'est pas uniforme pour C-(R-). Pour avoir convergence uniforme il faut prendre un secteur angulaire (il peut être trèspetit mais non nul) comprenant R-.

Cordialement

[invite3e5ede0a]

Si je vous ai bien suivi, alors la branche de coupure qu'il fait choisir reste en x<0 ? J'avais tendance à penser l'inverse (x>0)...?

[invite35452583]

Si je vous ai bien suivi, alors la branche de coupure qu'il fait choisir reste en x<0 ? J'avais tendance à penser l'inverse (x>0)...?

Bonjour,
la racine carrée est une multifonction bivaluée sauf en zéro.
Les deux valeurs pour les x>0 sont réelles qui n'est pas le bord du domaine voulue Im(z)>0.
Le bord de ce que l'on veut comme image est l'axe des imaginaires d'antécédents pour la multifonction racine les réels négatifs.

Tu peux voir aussi directement qu'en gardant l'évaluation choisie précédemment pour au moins un complexe invalide ton résultat (pour le choix précédent Im(z)>0 pour tout z non réel négatif), c'est ce choix qui doit être modifié pour aboutir à ce que tu veux.

Cordialement

[invite3e5ede0a]

Bonjour,

J'ai de nouvelles questions sur ce sujet. Tout d'abord, le point z=0 de la fonction z^1/2 est un point de branchement, et on définit généralement la fonction racine carrée complexe en dehors de ce point z=0. Pourquoi ?


Sinon, quand on a une intégrale complexe du type :



où est un chemin d'intégration complexe et f une fonction analytique, certain ouvrages précisent qu'il faut éviter le point z=0 en déformant le contour d'intégration (au dessus ou au dessous selon la nature de f), et d'autres ne précisent rien. Alors quel est exactement la nature de ce point ? Il n'est pas régulier, ni vraiment singulier, bref, je ne comprends pas ! Peut on, oui ou non, faire passer le chemin d'intégration par ce point ?

Merci d'avance pour vos lumières

[invite986312212]

Tout d'abord, le point z=0 de la fonction z^1/2 est un point de branchement, et on définit généralement la fonction racine carrée complexe en dehors de ce point z=0. Pourquoi ?

on peut toujours poser mais on veut que la fonction soit holomorphe sur son domaine de définition, et ce ne serait pas le cas.