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suite et espace vectoriel



  1. #1
    Franz56

    suite et espace vectoriel


    ------

    Bonjour,
    pourriez-vous m'aider sur cet exercice :

    E : ensemble des suites réelles indexées par N, telles que pour tout entier naturel n :

    Un+2 - Un+1 - Un = 0

    Je dois montrer que E est un R-espace vectoriel, je dois donc montrer que (E,+) est un groupe abélien, mais je ne vois pas trop comment procéder. Pourriez-vous me conseiller ?

    -----

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  3. #2
    Ledescat

    Re : suite et espace vectoriel

    Erf, je sais qu'on avait fait ça en cours...
    il faut savoir que si r1 et r2 sont les sol de ton eq caracteristiques, alors
    Mais si mes souvenirs sont bons, notre prof a montré ca du fait qu'il avait montré d'abord que les Un formaient un Ev...
    Je crois me rappeler qu'il avait trouvé une base constituée de 2 suites, et que toutes les autres s'exprimaient en fonction de celles-ci.
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    Franz56

    Re : suite et espace vectoriel

    ok, merci je vais voir ce que je peux faire, cependant ça n'a pas l'air simple

  5. #4
    Ledescat

    Re : suite et espace vectoriel

    Ouais non en fait, pas besoin de connaître la forme de la solution...
    Il faut faire de même que pour montrer que les sol d'une eq diff linéaire forment un ev.
    Cogito ergo sum.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Franz56

    Re : suite et espace vectoriel

    J'ai vu un sujet qui à le meme titre que le mien, où il est expliqué comment procédé :

    alors prends deux telles suites et montre que leur somme vérifie encore l'équation. Il faut aussi que tu prennes une telle suite et un réel et que tu montres que la suite, multipliée par le réel, vérifie encore l'équation.

    mais je ne comprend pas comment on prend " deux telles suite " ???

    ( C'est un DM, je n'ai vu encore le lien entre equa diff, suite et ev )

  8. #6
    Franz56

    Re : suite et espace vectoriel

    Apparament il y a une autre méthode, montrer que E est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des suites réelles, mais dois-je démontrer que l'ensemble des suites réelles est un espace vectoriel ??

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  10. #7
    Ledescat

    Re : suite et espace vectoriel

    En fait, c'est pas bien difficile de montrer que les suites vérifiant ça forment un sev des suites réelles.
    Il faut montrer que le vecteur nul est dans ton sev, que si x et y sont dans ton sev, alors la somme aussi; et enfin que pour réel et x dans ton sev alors est dedans également.

    Ici:

    Il faut que le vecteur nul vérifie bien ta relation: c'est direct, la suite identiquement nulle la vérifie.

    Ensuite suppose que (Un) et (Vn) vérifient l'equation;
    ie


    Que penses-tu de
    (pense à ajouter membre à membre)

    Enfin, multiplier ton équation à gauche et à droite par un scalaire change-t-il quelque chose?
    Cogito ergo sum.

  11. #8
    Franz56

    Re : suite et espace vectoriel

    merci beaucoup pour ton aide.

    Mon gros problème est que je n'est pas l'habitude dutiliser des suites comme ça. Par exemple la suite identiquement nulle est une suite telle que Un=Un ?

    merci

    ps : j'ai fait une erreur c'est Un+2 - Un+1 - 2Un = 0, il manquait 2 devant Un

  12. #9
    Ledescat

    Re : suite et espace vectoriel

    C'est pas grave, ça reste linéaire!
    Ca m'aurait posé un problème si tu m'avais dit, il manquait un (n) au lieu d'un 2.
    La suite identiquement nulle est la suite qui vaut tout le temps 0.


    Sinon, pour montrer que vérifie l'equation, tu as compris ?
    Cogito ergo sum.

  13. #10
    Franz56

    Re : suite et espace vectoriel

    ok merci

    J'ai peut-être compris, quand tu dis membre à membre c'est :

    (U+V)n+2 - (U+V)n+1 - 2(U+V)n = 0

  14. #11
    Ledescat

    Re : suite et espace vectoriel

    Oui c'est ça
    Cogito ergo sum.

  15. #12
    Franz56

    Re : suite et espace vectoriel

    merci

    J'ai donc ajouté membre à membre et j'ai obtenu

    (U+V)n+2 - (U+V)n+1 - 2(U+V)n = 0

    cela suffit pour dire que cette équation montre que la somme de 2 suites du sev est dans le sev, c'est ça ?
    Et je n'ai pas à montrer que l'ensemble des suites réelles est un ev ?

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  17. #13
    Ledescat

    Re : suite et espace vectoriel

    Oui c'est sûr... mais théoriquement c'est "du cours" que (,+,.) est un -ev
    Cogito ergo sum.

  18. #14
    Franz56

    Re : suite et espace vectoriel

    euh oui, mais dans un exemple de ce genre on conseillait de le faire, voilà pourquoi. MERCI

  19. #15
    Ledescat

    Re : suite et espace vectoriel

    Je veux dire, je pense pas qu'il faut redémontrer les maths pour chaque exo...dans ce cas là on s'en sort plus; mais bon peut-être que ton prof veut réellement que tu montres que (E,+) est un groupe commutatif, que a.(x+y)=a.x+ay
    (a+b).x=a.x+b.x etc....
    Cogito ergo sum.

  20. #16
    Franz56

    Re : suite et espace vectoriel

    autre question pour ne pas multiplier les sujets :

    E : ensemble des suites réelles indexées par N, telles que pour tout entier naturel n :

    Un+2 - Un+1 - 2*Un = 0

    Je veux montrer que c'est un espace vectoriel et je bloque sur la linéarité !! Pouvez-vous m'aider ?

  21. #17
    chwebij

    Re : suite et espace vectoriel

    pour la premiere question, tu pourras toujours dire que des lapins plus des lapins ca fait toujours des lapins!et ca vaut de l'or
    cf suite de fibonacci
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci
    AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!

  22. #18
    Franz56

    Re : suite et espace vectoriel

    j'aimerai beaucoup savoir pourquoi :
    des lapins plus des lapins ca fait toujours des lapins

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  24. #19
    Franz56

    Re : suite et espace vectoriel

    oui c'est bien la suite de fibonacci, mais ça ne m'aide pas pour la linéarité, enfin je pense.
    merci quand meme

  25. #20
    chwebij

    Re : suite et espace vectoriel

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message

    Enfin, multiplier ton équation à gauche et à droite par un scalaire change-t-il quelque chose?
    plus qu'a y repondre pour la linéarité
    AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!

  26. #21
    Franz56

    Re : suite et espace vectoriel

    merci pour ton aide, mais je ne parle plus tout à fait de la meme chose, je ne dois plus considérer les messages précédents.

    Voici mes seuls indices :
    E ensemble des suites réelles u ondexées par N, telles que, pour tout entier naturel n :Un+2 - Un+1 - 2*Un = 0

    Je sais maintenant que E est un R-espace vectoriel

    consigne : Montrer que f, qui à toute suite u de E associe la suite Vn=U(n+1), est un endomorphisme de E.

    Donc f(Un)=U(n+1)=Vn d'où

    V(n+1) - Vn - 2*V(n-1)=0

    mais je dois montrer la linéarité de f pour conclure.

    Ce que tu me dis de faire à déjà été utilisé pour démontrer que E est un R-espace vectoriel

  27. #22
    chwebij

    Re : suite et espace vectoriel

    pour monter que f est un endomorphisme il faut montrer que f(a*un+b*wn)=af(un)+bf(wn), donc a priori il n'y a pas de problème!
    AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!

  28. #23
    Franz56

    Re : suite et espace vectoriel

    Dans ce cas je ne comprend pas pourquoi je dois réutiliser cette propriété !!!

    En fait j'ai l'impression qu'il y a un contre-sens !

    Comment puis-je montrer que : f(a*un+b*wn)=af(un)+bf(wn), alors que je n'ai que f(un)=vn=u(n+1) ???

  29. #24
    Franz56

    Re : suite et espace vectoriel

    Après beaucoup de :hein: , j'ai :id: . Je ne suis pas sur, mais voilà peut-être la linéarité :

    J'ai montré que V(n+1)-Vn-2*V(n-1)=0

    et je sais que f(Vn)=U(n+1)=U(n+2)-2*Un

    alors : f(k*Vn)=k*U(n+1)

    =k*(U(n+2)-2*Un)

    =k*(V(n+1)-2*V(n-1)

    =k*Vn
    donc f est linéaire ! Mais j'imagine que c'est :marteau:
    Bonne soirée

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  31. #25
    chwebij

    Re : suite et espace vectoriel

    ah, les debuts en algebre lineaire sont un peu brouillon, on a du mal a voir comment une suite ou une fonction peuvent ressembler a un vecteur, mais ca viendra

    la on a bref on sotte un indice
    deja f va de E dans E (c'est bien parti pour etre endomorphisme)

    puis on a
    puis on a



    enfin ecris comme ca c'est tout bete mais c'est plus la methode qu'il faut retenir que la trivialité des passages des égalites
    et dans ton dernier message , tu as confondu un peu tout et dire f(kvn)=kvn ne montre pas la linéarite ca montre soit que f=id ou que vn est un vecteur propre de valeur propre 1, bref tu verras ca l'année prochaine pour l'instant l'important est de comprendre les étapes pour montrer soit que f est un endomorphisme soit que E est un SEV.
    AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!

  32. #26
    Franz56

    Re : suite et espace vectoriel

    Donc ce que tu as marqué prouve la linéarité mais pas que E est un sev ?

    Merci bcp pour ton aide !!

  33. #27
    Franz56

    Re : suite et espace vectoriel

    ? C'était bien ça ?

  34. #28
    chwebij

    Re : suite et espace vectoriel

    le but de ton exo n'est il pas de montrer que f est un endomorphisme???
    dans ma correction j'ai oublié de souligner le fait que f va de E dans E qui est une étape importante, mais ici trivial car on augmente d'un l'indice.
    en fait je ne comprend pas ce que tu ne comprends pas?!
    tu as déja montré que E est sev, non?
    AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!

  35. #29
    Franz56

    Re : suite et espace vectoriel

    euh oui petit mal-entendu, merci beaucoup pour ton aide !!

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