Dérivabilité sur un intervalle

[invite7d40f910]

Bonjour,

Soit . Il me faut montrer avec la définition que la fonction définie par :
est dérivable sur .

Voilà comment j'ai commencé :

Soit

On définit avec différent de

Et ensuite, je vois pas comment démontrer que la limite de en est finie ...

( On doit montrer que la limite de quand tend vers est finie )
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[invite7553e94d]

Bonjour.

Par récurence ça marche très bien. Attention à l'initialiser à n=1, car pour n=0 xⁿ n'est pas définie en 0 (zéro).

Bonne chance.

[invite7d40f910]

Ok, merci.

[inviteaf1870ed]

Tu peux faire plus simple : un théorème de ton cours dit que le produit de deux fonctions dérivables sur un même intervalle est dérivable. Ici la fonction x -> x est dérivable sur R, donc x^n est dérivable sur R, pour n>0, bien entendu.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Sinon, tu peux même faire ça sans théorème en utilisant la formule du binome de Newton à (x_0 +h)^n - x_0^n.
Si tout se passe bien, cela te donne un polynome en h de de degré n, sans terme constant, et donc la limite quand tu divises par h est facile à calculer pour h -> 0.

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rvz