2 fonctions = sur un intervalle sont = sur IR?

[invite412f80f3]

Bonjour, Je suis en train de démontrer un résultat. Je fait le raisonnement suivant qui me semble faux mais je trouve pas la faute. Si quelqu'un peut me signaler le passage faux ou me dire si mon raisonnement est correcte.

On sait que les polynomes de Legendre forment une base orthogonale deet on sait que la restriction de toute fonction analytique f sur est dans Il s'ensuit que
pour
Si on applique la transformée de Fourier à cette dernière égalité on obtient l'égalité suivante [on a le droit d'appliquer la transformée de Fourier à f car par hypothese ]
qui est vraie pour
En appliquant la transformée de Fourier inverse à cette dernière égalité on obtient:
pour .
Alors qu'on est parti de cette meme égalité mais sur [-1,1]?
Merci bien pour vos remarques?
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[edpiste]

Deux fonctions analytiques qui coincident sur un intervalle coincident partout. C'est une conséquence du th des zeros isolés.

[invite412f80f3]

Merci bien edpiste pour ta réponse. cette consequence des zéros isolés va me permettre d'evitrer les transformations de Fourier.
Juste une dernière question:
On sait que , ou est le kième polynome de Legendre, est une base de . Que peut on dire de la famille ou ? Je veux dire est ce qu'elle reste une base et de quel espace?
J'ai pu montrer que est une famille orthogonale de de . Il me reste à montrer qu'elle est génératrice pour affirmer que c'est une base. Je ne sais pas comment faire? Un coup de pouce et merci bien pour votre aide
Amicalement
Dhahri

[edpiste]

Attention, la famille (Pk) ne forme pas une base de L^2(-1,1) au sens classique : il s'agit d'une base Hilbertienne. Autrement dit toute fonction f de L^2(-1,1)
peut s'écrire comme limite d'une somme partielle
SN(t)=a0 P0(t) + a1 P1(t) + .. + aN PN(t), quand N tend vers +oo.
Il faut bien faire attention cette limite est au sens de la norme L^2 : autrement dit, la norme L^2 de (f-SN) tend vers 0.
En utilisant ces définitions, il est facile de voir (faire un chgt de variable dans les intégrales définissant la norme L^2) que ta famille (Pk o h) forme une base Hilbertienne de L^2(-1/2,1/2).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite412f80f3]

Merci bien pour la réponse. Si vous le permettez, on a commi une faute (a mon avis) en disant que, c'est une conséquences des théorème des zeros isolés et que si 2 fonctions analytiques coincident sur un intervalle alors elles coincident partout. En fait qui nous affirme que
est analytique?
La fonction f est analytiques parce qu'elle est à bande limitée.
Peut être j'ai dit que est analytique, car j'ai raisonné de la facon suivante:
Or la série de droite est une série entière donc analytique.
Mon raisonnement me semble un peu bizarre, car de cette façon on peut montrer que toute série est analytique ce qui n'est pas le cas.
Je suis vraiment coincé. Un coup de pouce et merci bien pour l'aide

[edpiste]

Je note que dans ton argument de départ, ce qu'on n'a pas le droit de faire, c'est prendre la transformée de Fourier d'une égalité valable uniquement dans l'intervalle [-1,1]. Il faut que
pour tout pour passer en Fourier.

Cepedant, la série
est limite uniforme sur tout compact de la somme partielle lorsuqe N tend vers l'infini.
La somme partielle est analytique comme combinaison linéaire (finie) des polynômes de Legendre et la propriété d'analyticité est préservée par le passage à la limite
donc est analytique.