Série entière - fonction analytique / Prépa-L3

[k9p9w9]

bonjour, j'ai une question sur les serie entières - fonction analytique. Voila ce que je sais , ou plutot croit savoir : si f est développable en serie entière (DSE), alors elle est Cinfini et egale sa série de Taylor en 0 sur un certain voisinage de 0, disons V. Mais dans ce cas, ele est analytique sur V (c'est bien vrai ça non ?). Et analytique, ça veut dire que f est localement en tout point de V somme d'une série entière (de rayon de conv. >0). Autrement dit encor, si a est un point de V, on a d'un coté :
f(a) = somme(n=0;n=infini;(dérivee-nieme-de f)(a)/n! fois zpuissance n) (ça c'est le série de Taylor) ;
de l'autre coté, il existe une série entière somme(n=0;n=infini;an fois zn) tel que f(a) = somme(n=0;n=infini;an fois (z-a)puissance n) pour tous les z voisins de a.
Si je réuni les deux formules, on doit donc avoir :
somme(n=0;n=infini;(dérivee-nieme-de f)(a)/n! fois zpuissance n) = somme(n=0;n=infini;an fois (z-a)puissance n)
(merci le copier-coller !).
Aux imprécisions près sur les voisinages et les ensembles ou tout ca marche bien, est-ce que je ne dis pas trop de conn... ?

Merci par avance à tous ceux qui se pencheront sur le pb.
Sonic

PS : j'ai posté le meme fil au forum intermaths (comme ca vous n'etes pas surpris si vous y allez aussi
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[invite9cf21bce]

Salut !

f(a) = somme(n=0;n=infini;(dérivee-nieme-de f)(a)/n! fois zpuissance n) (ça c'est le série de Taylor) ;

J'aurais plutôt écrit

de l'autre coté, il existe une série entière somme(n=0;n=infini;an fois zn) tel que f(a) = somme(n=0;n=infini;an fois (z-a)puissance n) pour tous les z voisins de a.

Cette fois, j'aurais écrit
(on a d'ailleurs où désigne la n^e dérivée complexe).

Il y a effectivement égalité dans l'intersection des deux disques. Lorsque z=a, la deuxième série se résume à f(a) et n'apporte rien au schmilblick.

Attention à 0 qui n'a pas de raison particulière de se trouver dans l'intersection des deux disques.

Taar

[edpiste]

Attention à 0 qui n'a pas de raison particulière de se trouver dans l'intersection des deux disques.

Taar

Tu peux nous construire un petit contre-exemple ?
Merci.

[invite9cf21bce]

Tu peux nous construire un petit contre-exemple ?
Merci.

Sûr.

Prends f(z)=ln(1-z) au voisinage de 0 : le rayon de convergence est 1.
Mais f a une singularité en 1. Donc si on se rapproche de 1 le rayon doit être petit. Plaçons-nous par exemple au voisinage de 0,8 (qui est dans le disque de convergence autour de 0).

ln(1-(0,8+z))=ln(0,2-z)=ln(0,2)+ln(1-z/0,2)
Donc le rayon de convergence est 0,2.

Donc 0 n'est pas dans le disque de convergence autour de 0,8.

[A voir en vidéo sur Futura]

[k9p9w9]

A Taar : ouais, c'est exactement c'que je voulais dire, merci !! C'est mieux avec Tex, mais je suis pas fortiche...
Par contre, la ou il y a un truc, c'est si on prend z0 dans l''intersection des deux disques, on peut écrire :
(j'essaie de pas me gourer cette fois )
f(z0)=somme(0;infini;derivee-nieme-de f(0)/n! foix z0^n) = somme(0;infini; dérivée-nieme-de f(a)/n! fois (z0-a)^n)
(j'ai fait que substituer z0 à z dans les deux formule de Taar).
C'est assez fort, ça non ?

[invite9cf21bce]

Content que ça te plaise ...

[k9p9w9]

De rien, mais sinon... ce que j'ai écris est plutot surprenant, non ? Cette egalité entre les séries, qui est vrai en tous les points d'un disque de rayon > 0.... ?
C'est si évidant que ca ??

[k9p9w9]

Bon, j'ai l'impression que mon message il est soit pas top, soit que personne veut s'donner la peine de dechiffrer qd c'est pas du latex tout beau. Alors j'ai reformulé ma demande et j'ai demandé à un pote qui connait latex (merci l'informaticien ) de me faire les formules. alors voila . Donc ca concerne les DSE. Je reformule tout depuis le début, en utilisant l'indication de Taar (merci !). réelle ou complexe est DSE en 0, donc voisinage de 0 sur lequel :
.
Bon, mais f est analytique car DSE, donc si on se place en un , alors il existe une série entière telle que sur un (disque ouvert centré en a et de rayon r>0 !) on a
.
Ouf ! C'est vrai que c'set plus sympa
Bon, maintenant, qu'est-ce qui se passe si on prend un , alors on doit avoir :


Est-ce que cette formule est juste, et si oui, que peut-on en dire d'autre d'intéressant, car pour moi cette formule (l'égalité quoi !) est tout de même assez étonnante !!
Si quelqu'un a des idées là-dessus, ca m'interesse vivement !
Merci

[k9p9w9]

Ben alors... ? y'a pas de réponse à mon message ? J'ai découvert un nouveau théorème ça va être la fête et la médaille field en vue
Le théorème de k9p9w9

Plus sérieusement :




Merci...

[k9p9w9]

Ben !! Personne veut répondre ???
Je me sens un peu seul
Je vous implore : donnez moi une réponse !
J'espère que c'est pas trop théorique pour le niveau du forum ! Il faut tout de meme se poser des question théorique, y'a pas que les calculs dans la vie (surtout avec les ordi et mapple et companie...) !! Y'a plein de réponse sur des calculs à la noix (développer sin(Arccos(ln(tan(exp(x²+pi/24900))))) à l'ordre 245 en Pi/2.4546), et personne n'est capable de répondre à une question ou y'a pas de calcul ???

Merci pour mon heureux bienfaiteur qui voudra gentiment répondre à ma question

[invitec053041c]

une réponse
non,honnêtement je n'ai pas encore fait les séries entières, mais c'est pour te donner espoir !

[Sylvestre]

Bonjour,

Puisque personne ne le fait, je vais répondre. La réponse est la plus simple qui soit : Ta formule est correcte. Ceci dit, sans vouloir minimiser tes efforts, je ne vois pas pourquoi cela mériterait une médaille Fields...

[k9p9w9]

Ah ! Merci mon bon prince !
En fait, ca vaut certainement pas grand chose, mais je suis etonné que ca ne soit dans aucun bouquin sur le sujet. C'est une egalité qu'on voit nul part, c'est assez etonnant...
Bon, si j'ai une autre interrogation mystique, je sais que je peux m'adresser dans ce forum
Merci !

[edpiste]

Comme Sylvestre, je ne mesure pas bien l'ampleur de ta découverte...on peut générer beaucoup d'identités très compliquées mais si elles n'apportent pas d'éclairage particulier, je ne vois pas l'intérêt. Abstrait ou non, il faut qu'un calcul fasse sens.

Voici un problème (dont la preuve directe reste une question ouverte à ce jour) sur les séries qui me parait un peu plus étonnant : soit une suite de nombres complexes tels que

1. converge

2. pour tout entier n non nul.

Alors,

est un entier

[martini_bird]

Salut,

mais je suis etonné que ca ne soit dans aucun bouquin sur le sujet

Ca s'appelle le développement de Taylor.

Cordialement.