bonjour,
j´ai un peu perdu la main en ce qui concerne les séries entières. Je dois maintenant calculer le rayon de convergence de la série suivante:
Somme (1 + 1/n)n.zn
Au début j´ai cru pouvoir m´aider par le fait que (1 + 1/n)n converge vers e, mais je tourne en rond. Quelqu´un a-t-il une idée?
merci d´avance
Christophe
Bonjour,
Le fait que ceci tende vers e nous dit que R=1 (il suffit de voir qu'il y a divergence grossiere pr |z|>1 et convergence pour |z|<1 (suffit de majorer la suite devant le z^n par un M constant (on connait son existance grace à la convergence de la suite vers e)).
euh... merci je vais voir
Si tu travailles dans R, il ne te reste plus qu'à tester les valeurs particulières 1 et -1.
La divergence est claire pour z=1, et pour z=-1, le critère de Leibniz pour les séries alternées ne s'appliquent pas : le terme général ne tend pas vers 0. Un petit doute subsiste, je ne sais plus si c'est une caractérisation, donc si tu peux en conclure que ta série diverge.
L'ensemble de définition de ta série entière serait donc ]-1;1[
bon ben tout d´un coup j´ai un doute: je croyais pouvoir appliquer le théorème d´Abel, comme quoi ma suite est le produit d´une suite majorée, c.a.d (1 + 1/n)n et d´une suite complexe convergeant vers 0 si z < 1.
Or je m´aperçois que ce théorème est formulé autrement, que c´est la suite réelle qui doit converger vers 0 est la suite complexe qui doit majorée.
Donc dans ce cas je ne sais toujours pas prouver que ma série converge pour z < 1
pour z > 1 c´est très facile puisque ma suite ne converge pas vers 0, donc ma série diverge.
Christophe
