Bonjour tout le monde.
Je dois trouver : lim[Somme(k/n²*sin(k*Pi/(n+1)),k,1,n)] lorsque n tend vers l'infini en interpretant cette somme comme une somme de Riemann.
J'avoue que je bloque totalement pour celle ci, les autres étant très simples (il suffisait de factoriser par 1/n le terme général de la série pour faire apparaître la forme adéquate !)
J'imagine qu'il faut magouiller le sinus pour modifier ce n+1 qui nous gêne mais je ne vois pas comment faire...
Si quelqu'un peut m'aider....
tu as essayé en utilisé un dl de sin
Pas vraiment un DL mais j'ai tenté l'équivalence (même si j'ai pas trop le droit) pour voir si ça donne un truc mais y'a rien d'évident et vu le niveau de l'exercice la solution n'est pas compliquée.
En fait un exemple :
Somme[(k²+n²)/(k+n),k,1,n]
Je dois trouver la limite en l'infini, je transforme le terme général :
(k²+n²)/(k+n)=1/n*(1+(k/n)²)/(1+k/n)
En posant x[k]=k/n
f(x)=(1+x²)/(1+x)
On obtient bien : x[k+1]-x[k]=1/n
On trouve que x0=0 et xn=1
On en déduit que la somme tend vers
integrale(f(x),x,0,1)
C'est cette méthode qu'il faut utiliser pour le sinus mais je ne vois pas comment faire !
mais en utilisant sin(x) ~ x essaye ça peut marcher
Considère que ta somme va jusqu'à (n+1) et retranche le terme que tu as ajouté.Il tend vers 0 en l'infini, donc au final tu retombes sur tes pattes
Dudivine, le DL est une étude locale, ici cette somme revient à une integrale en magouillant bien, donc le DL ne peut pas vraiment nous aider.
D'autant plus que sin(x)~x en 0 (seulement)
En fait j'ai toujours le même problème.
Je vais vous expliquer un peu mieux l'exercice :
(somme de Riemann)
Si x0=a, xn=b, que le pas de ma suite xk tend vers 0 lorsque n tend vers +l'infini, cette somme tend vers :
que l'on sait naturellement calculer.
Le but est donc de ramener
sous la forme d'une série de Riemann comme écrite plus haut et d'en déduire l'integrale vers laquelle tend cette série lorsque n tend vers l'infini.
Bonjour tout le monde !!!
Je relance le post de bon matin pour éviter qu'il ne sombre dans l'oubli
Moi c'est le
Sans ce carré, en magouillant 2 secondes on obtient
En divisant à nouveau par n, je dirais alors que celà tend vers 0...à vérifier.
=
Les 2 termes ajoutés retranchés valent 0, car sin(0)=sin(
Et ensuite on continue comme ça; ce qui est curieux c'est qu'on n'ait pas un k/(n+1)²
Peut-être une erreur je sais pas.
A mon avis on se ramene plutôt à quelque chose qui ressemble à
Justement le truc qui me bloque, ce n'est pas de faire correspondre les indices mais bien de déterminer f(x) et x(k) ! Je n'y parviens toujours pas !
En fait ce qui me gêne c'est que d'un côté on ait du n, de l'autre du (n+1).
Peut-être peut-on passer au travers ça en disant qu'à l'infini, (n+1)~n
Mais ça ne me plaît pas trop...
Bonjour, j ai peut etre trouve la solution a ton probleme, mais ne faisant plus de serie depuis un certain temps je n en suis pas sur. Je te transmets cette solution:
n est ici defini donc c n est pas une variable a proprement parle de ta serie, tu factorises donc ta serie par n.
=> 1/n somme (...)
tu fais un changement de variable, K=k+1 , ta somme va donc de K=0 a n, et tu as donc une serie de cette forme:
(1/n*pi)*somme { (K*pi/n)*sin[K*pi/(n+1)-pi/(n+1)] }
Comme n tends vers l infini, K/(n+1) equivaut a K/n et pi/(n+1) a 0
Tu remplace dans ta somme et tu obtiens:
1/(n*pi) * somme { (K*pi/n)*sin[ K*pi/n ] }
Si tu poses Xk=K*pi/n tu as bien que Xk+1 - Xk = K*pi/n
Tu obtiens la forme souhaite, ca te donne une integrale d un sinus, qui te donne un reel, sans oublie le terme facteur 1/(n*pi) qui tends vers 0 quand n tends vers l infini.
Donc au final, le resultat est 0.
Si je me suis pas trompe ca donne ca, desole pour les accents je suis en qwerty, et je n ai pas utilise une syntaxe de folie j ai fais ca a la va vite je dois partir d ici peu, neanmoins c etait sympa comme exo ^^.
Bonjour Ganash,
Comme te l'a dit Ledescat, si tu écris la somme de Riemann sur l'intervalleEnvoyé par Ganash
(somme de Riemann)
Si x0=a, xn=b, que le pas de ma suite xk tend vers 0 lorsque n tend vers +l'infini, cette somme tend vers :
Avec
Tu écris alors
Après deux ans j'avais un peu oublié les sommes de Riemann mais c'est gentil d'avoir répondu, ça me fait réviser
