Equation pseudo-fonctionnelle

[invite7553e94d]

Bonjour à tous. Par simple curiosité, je me demandais s'il existait une fonction à valeur de dans lui-même et continue sur tout son domaine telle que :
convèrge

divèrge

Merci de m'aiclairer.
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[invitedf667161]

On doit pouvoir trouver ça : imagine une fonction presque toujours nulle mais qui fait des triangles, en chaque n, elle vaut 1 et la base du triangle à une largeur de 1/n^2.

La série des f(n) diverge, tandis que l'integrale converge.

[invite7553e94d]

En effet, elle convèrge vers n'est-ce pas ?
Et est-il possible d'imaginer une fonction qui vérifie cette propriété ? En "lissant" ta fonction ?

[invitedf667161]

En effet, elle convèrge vers n'est-ce pas ?
Et est-il possible d'imaginer une fonction qui vérifie cette propriété ? En "lissant" ta fonction ?

OUi, l'integrale converge vers pi^2/6 si tu as pris tes triangles bien comme il faut et seulement du coté positifs de la vie.

Je crois qu'on peut la lisser sans aucun problème ; il suffit de trouver une fonction lisse qui fait une bosse de hauteur 1 et de largeur aussi petite que l'on veut.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite10a6d253]

f(t)=sin (pi*t)

[invitedf667161]

Je ne sais pas jusqu'à quel point on peut considérer que l'intégrale de t -> sin(pi*t) "converge" sur R ...

[inviteaf1870ed]

sinon f(t)=cos(pi*t)/t me parait bien sur R+*

[invite10a6d253]

Elève le sinus au carré, là quelque soit la façon de le voir, ça diverge..

[inviteaf1870ed]

Oui mais on cherche une fonction dont l'intégrale converge et pas la somme des f(n)

[invite10a6d253]

Merci Ericcc
Ca m'apprendra à ne pas lire l'énoncé avec attention.

[invite7553e94d]

sinon f(t)=cos(pi*t)/t me parait bien sur R+*

Son intégrale converge sur R ? (sans être définie en zéro ?)

[Médiat]

Un truc comme ?

[invite6d584275]

Bonjour,

On y est presque
Il suffit de choisir tout simplement f(t)=sin(2*pi*(t+1/4))/(t+1/4) avec
f(-1/4)=2pi. Cette fonction est continue sur R.

Pour t element de Z, f(t)=1/(t+1/4). Cette série diverge.
L'intégrale est convergente.

A+

[invite7553e94d]

En effet, il semble que la somme sur R convèrge vers les alentours de trois. Quelqu'un de motivé pour me donner la valeur exacte ?

Merci pour tout.

[invite6d584275]

En effet, l'intégrale converge vers pi.
Voir l'équation (11) sur le site
http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html

A+