Direction de Descente
Bonjour Tout Le Monde;
Je ne n'arrive pas a comprendre les concept suivants:
"Direction de Descente" et "la plus forte pente",bien que je n'ai pas de difficultés pour les autres concepts meme les plus abstraits!!!
Est ce que quelqu'un pourrait me donner des définitions claires et simples....?!
Merci D'avance et à très bientot.
on ne joue plus aux billes dans la cour de l'Ecole Polythechnique? ou bien le sol est absolument horizontal.
je cherche une explication profonde!! et non pas une humiliation!!!!! bien sure que j'ai compri ce que tu veux dire meme plus que ça! mais bon peut etre qu'un spécialiste va me comprendre......
désolé j'ai pas pu m'empêcher... et j'ai même pas mis de smiley.
ça a à voir avec le gradient il me semble et il n'y a pas beaucoup de mystère la dessous. Sérieusement, ce n'est plus enseigné en prépa?
Bonjour,Envoyé par Polytechnicienne
Bon, moi je dirais : dans un repère de référence dont les axes x et y sont horizontaux et z vertical, la plus forte pente c'est quand dz/dL (avec L2 = x2+y2) est maximum. et la direction de la descente c'est l'angle L,X
qui donne cette pente maxi.
“I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman
Salut !
il n'y a rien de formel la dessou : on dit que le gradient indique la direction "de la plus forte pente " car par exemple pour le cas d'une application de R² dans R, si tu trace le graphe de cette fonction (une surface donc) tu peut voir cela comme un relief, et dans ce cas, en chaque point le gradient indique la direction de la plus forte pense.
enfin, on peut quand meme formaliser un peu tous cela, si tu a une fonction f de R^n dans R, au voisinage d'un point a, f(a+h) =f(a)+h.grad f (a) + o(h)
donc la direction dans la quelle f aura "la plus grande pente" (ie les plus forte variatation) c'est celle qui maximise le terme h.gradf (a), ie en prenant h orienté comme grad f(a).
Si c'est enseigné en prépa, et c'est vrai que Polytechnicienne aurait dû voir cela (je pourrais dire quelque chose d'ironique sur l'X, mais je ne le fait pas), ceci dit ce n'est pas une raison pour être aussi caustique
Si je lis bien le message de présentation de la demoiselle (http://forums.futura-sciences.com/thread134008.html) il n'est pas si clair que le pseudo doive être pris littéralement. Mais, quoi qu'il en soit, manifestement ce pseudo fonctionne très bien comme "appât" pour attirer des réactions frisant l'automatisme ou le réflexe conditionné...Si c'est enseigné en prépa, et c'est vrai que Polytechnicienne aurait dû voir cela (je pourrais dire quelque chose d'ironique sur l'X, mais je ne le fait pas
Cordialement,
Je suis d'accord et c'est pour ça que je préfère tempérer de suite. Ceci dit, un élève ingénieur, qu'il soit passé par la prépa ou la fac ou l'IUT, a dû voir la signification du gradient au cours de sa scolarité non ?
Certes. Mais de fait la notion de gradient n'est pas triviale. Le gradient est présenté quasiment toujours comme un champ de vecteurs, alors qu'il s'agit d'un champ de formes. Voir le gradient comme la direction de plus forte pente est une erreur, le voir comme l'application linéaire (la forme) qui a une direction h (pour reprendre la notation de messages précédents) associe la variation h --> h.grad(f), ce qu'a fait ksilver, est la vision correcte àmha, mais n'est pas "évidente".
En d'autres termes, je ne suis pas sûr (en fait je le suis presque, ma fille est en taupe...) que les élèves de prépa en général, par exemple, maîtrisent bien ce qu'est un gradient... La formation les amènent à en maîtriser quleques usages et applications de base, mais il y a loin entre ça et la géométrie différentielle...
Ceci dit, la question initiale n'est pas claire du tout, et on éviterait des réponses "coup d'épée dans l'eau" si la question était clarifiée.
Cordialement,
Bonjour,
A mon avis, Polytechnicienne doit avoir entendu parler de ces notions en "optimisation", c'est à dire dans le cadre de minimisation de fonction. Il est alors utile de connaîre, à partir d'un point d'une fonction, la "direction" dans laquelle la fonction diminue le plus. Finalement la direction fait bien allusion à un vecteur (en général le gradient) et la pente fait référence à un scalaire, (par exemple la norme du gradient).
je suis pas tous a fait d'accord mmy sur le fait qu'il y a confusion : si je suis strictement les définition de mon cours , le gradient est bien un champ de vecteur, le champ de forme linéaire dont tu parle, c'est la différentielle de la fonction.
Ou alors elle a acheté une montagne et veut construire une station de ski et cherche à mettre des pistes noires dessus.
Il lui suffira alors de prendre une carte géographique de la région (avec les équipotentielles) et de tracer les orthogonales à ces équipotentielles (les orthogonales qui se trouvent dans le plan tangent bien évidement). Il ne reste plus qu'à planter les panneaux et à monter un télésiège.
Comme quoi...
Quelle différence fais-tu entre la différentielle d'un scalaire et un gradient?
Ensuite, h --> grad(f).h est-elle ou non une application linéaire? A cause de cela, en euclidien, un vecteur peut être vu formellement comme une forme linéaire et réciproquement. Il faut aller un peu plus loin pour voir la "nature" de l'objet.
Mais, quand on passe en relativité, on note le gradient avec un indice en bas, et le produit du gradient par le déplacement est le produit naturel, sans la métrique. C'est bien une forme.
C'est le problème de fond d'apprendre ces notions là en euclidien: la différence entre forme et vecteur n'est pas perçue, corrélativement au fait que le produit scalaire est utilisé indifféremment pour l'application de la métrique et l'application d'une forme à un vecteur...
Mais je ne sais pas si c'est malin de présenter ces subtilités. La plupart des gens (et les cours) vivent très bien avec la confusion entre vecteurs et formes...
Cordialement,
Merci skydancer , tu as compri un peu ce que je veux; [j'aimerai éclaircir un point:----> je fais l'Ecole polytechnique , mais pas la X, j'ai pas fais de prépa, j'ai fais un tronc commun de sciences fondamentales].
en ce qui concerne ma question! c'est exactement dans le cadre de l'optimisation , pour le min d'une fonction au fait c'est pas le calcul ou le gradient qui me dérange , mais je ne comprend pas comment une fonction pourrait avoir plusieurs directions??????
merci encore
si je suis mon cours, le gradient de f en a est un objet purement euclidien définit comme le vecteur v telle que df(a) = (v|dx).
donc si on utilise le formalise tensorielle de la relativité, le gradient est plutot la forme Contravariante de la différentielle (qui à la base est covariante). et l'objet qu'on note avec un indice en bas n'est pas le gradient, mais bien la différentielle (qui est bien définit comme une forme linéaire).
mais bon apres tous ceci n'est qu'un probleme de définition de ce qu'on appelle un gradient....
fonction altitude d'une montagne, la pente est pas pareil selon la direction non ?
“I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman
Ce n'est pas celui de la relativité, mais celui de la géo diff...
C'est amusant comme approche. On définit le même objet sous deux présentations différentes, avec deux noms différents. On se demande à quoi ça sert, le gradient est plutot la forme Contravariante de la différentielle (qui à la base est covariante). et l'objet qu'on note avec un indice en bas n'est pas le gradient, mais bien la différentielle (qui est bien définit comme une forme linéaire).
Du coup, on se retrouve avec une notion indépendante de la métrique, la différentielle, et un "gradient" qui est la même chose une fois qu'on a appliqué la métrique, qui ne sert strictement à rien dans la définition et les usages de la différentielle!
Mais j'arrête sur le sujet... Aller à l'encontre des cours n'est pas une bonne chose! Ca semble introduire plus de confusion qu'autre chose, pour la majorité des gens. (Pour moi la vision d'un seul objet, une forme, enlève de la confusion.)
Cordialement,
Mouais. Bah dans mon cours j'ai plutôt ce que dit mmy, à savoir que le gradient est une forme, puisque notée en covariant de façon naturelle...
On définit le même objet sous deux présentations différentes, avec deux noms différents. On se demande à quoi ça sert >>>> j'ai jammais prétendu que c'etait utile non plus... ceci dit ca l'est toujour plus que de donner deux nom différent aux meme objet. autant appeler différentielle une différentielle si s'en est une non ?
enfin, je dis sa, mais si justement, la notion de gradient (le vecteur, pas la forme) est tous de meme utile en Optimisation... je vois mal comment tu te represente la suite Un+1 = Un - a*gradF(Un) si pour toi le gradient est une forme linéaire... et ce justement dans ce cadre qu'on dit que le gradient indique "la direction de la plus forte pense" dont il est question ici.
enfin, c'est juste un probleme de convention, c'est effectivement une discution totalement stérile puisque les deux visions sont cohérente... mais bon rassure toi en ce qui me concerne tu ne risque pas d'introduire de confusion.
je vais essayer de me racheter
dans le temps on présentait les choses comme ça: on a donc une fonction f de R^2 dans R: (x,y)->f(x,y) dont le graphe est une surface. On considère un point (x0,y0,f(x0,y0)) de cette surface. Si on se donne une droite D de R^2 passant par (x0,y0), la restriction de f à cette droite peut être vue comme une fonction de R dans R (par exemple fixant y=y0, on a la droite parallèle à l'axe des x et la fonction en question est x->f(x,y0) ). Si cette fonction de R dans R est dérivable, sa dérivée donne la "pente de f dans la direction D".
en prenant un peu de hauteur, on peut définir directement la dérivée comme application linéaire.
Bonjour,
Je ne suis toujours pas sûr de comprendre la formulation de la question. Mais essayons un axe de réponse, peut-être inadapté; dans le doute, tentons!
Une manière de voir le gradient est qu'il s'agit d'une fonction qui s'applique à une direction. Une telle fonction donne un résultat différent selon la direction à laquelle on l'applique.
On part d'une fonction qui à un point (de R2, de R3, ou autre) associe une valeur scalaire (un réel; une altitude, une température, ce qu'on voudra). Et de là on fabrique une autre fonction qui à un couple (point, direction) associe une valeur scalaire (la "pente" dans la direction choisie).
En d'autres termes, si on donne un point et une direction, la fonction sort une pente. La fonction n'a pas "plusieurs directions", mais elle donne un résultat différent selon la direction à laquelle on l'applique.
Dans le tas des directions auxquelles on peut appliquer cette fonction, il peut y en avoir une maximisant ou minimisant la pente.
Avec des formules, cela donne:
f(M): Espace --> R, une fonction qui à un point d'un espace associe un scalaire.
Grad[f] (M, h) : (Espace, espace des directions) --> R, une fonction qui associe une "pente" à un point de l'espace M et une direction h .
La représentation courante (gradient?) consiste à représenter la fonction comme un champ de "vecteurs" grad[f](M), tel que Grad[f](M, h) = grad[f](M).h (1). Dans cette visions "vecteur" grad[f](M) n'a qu'une seule direction (ou aucune s'il est nul), mais dans la vision fonction grad[f](M, h) il n'y a pas de direction de la fonction, simplement un résultat différent en fonction de la direction.
Cordialement,
(1) On utilise la propriété mathématique qui veut qu'une fonction linéaire des directions puisse toujours s'écrire sous la forme d'un produit scalaire d'un vecteur fixe avec un vecteur direction, dans les espaces qui vont bien (les espaces usuels pour les considérations de ce fil).
Edit: Doublon incompréhensible, résultat d'une simple édition ??? Le message précédent peut être supprimé.
Est ce que ça a un rapport avec ta question sur les algos génétiques. Si c'est le cas, j'imagine que tu es tombé la dessus dans le cadre de la recherche d'un extrêma de fonction.
La différentielle d'une fonction peut s'exprimer à l'aide du gradiant par
Si maintenant tu choisis dx proportionnel au gradiant de f, tu as une variation df qui est forcemment négative.
Ainsi un partant d'un point x0, en calculant le gradiant en x0, puis en te placant ensuite en x1 = x0 + dx, et ainsi de suite, tu es sûre de diminuer la valeur de f à chaque coup.
Mais rien ne te guarantit ensuite que le minimum soit global ...
GCS/S s: a C++ DI++>+++ UL++A++HIS++$ P++>+++$ E+>++$ W+>++$ N+ Y+ e++++ t+++ y+++
