Bonjour,
j'avais un DM a faire ou je devais prouver par l'absure que racine de 2 (noté V2) est un irrationnel en partant du fait qu'il est rationnel.
On a donc : V2=a/b ou a et b sont des entiers naturels premier entres eux.
J'ai donc écris:
Montrer que est irrationnel revient à montrer, par l'absurde, qu'il est rationnel. Par définition, un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme où a et b sont supposés premiers entre eux.
V2= a/b
2=a2/b2
a2=2b2
On en déduis alors que a² est pair, donc a l'est aussi. Il existe alors un réel k tel que a = 2k, soit a² = 4k². Ob substitue :
4k² = 2b²
2k² = b²
On en déduis alors que b² est pair, donc b l'est aussi. Il existe alors un réel m tel que b = 2m, soit b² = 4m². On substitue :
2k² = 4m²
k² = 2m², ce qui revient à a² = 2b².
De notre équation de départ on est arrivé à une autre équation identique, plus petite, après diverses transformations (divisions). Ce qui revient à dire alors que les solutions pour a et b sont divisibles par 2 à l'infini* (on pourrait recommencer les étapes précédentes à l'infini : "On en déduis que k² est pair, donc k l'est aussi. Alors il existe un réel n tel que k² = 4n² etc" et retomber, après diverses divisions, sur notre équation de départ). Or il n'existe aucun nombre ayant la propriété d'être divisible par 2 ,tout en donnant un résultat entier, à l'infini (hormis 0). On en déduis alors qu'il n'existe aucun réel a et b tel que . On en conclus donc que est irrationnel.
* = principe de la descente infinie
Tout ceci était sur un brouillon et mon prof m'a dit:
Si tu réussi a bien me rédigé le théoreme de la descente infini et ton raisonnement, alors tu me le met a la suite du DM dirigé (en suivant toutes les question donnés) et je te met la meilleurs notes entre les 2.
Alors ma question est: ou sont les erreurs de rédactions?
Merci
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Envoyé par EdouardBG 
