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Théoreme de la descente infini



  1. #1
    EdouardBG

    Théoreme de la descente infini


    ------

    Bonjour,

    j'avais un DM a faire ou je devais prouver par l'absure que racine de 2 (noté V2) est un irrationnel en partant du fait qu'il est rationnel.

    On a donc : V2=a/b ou a et b sont des entiers naturels premier entres eux.

    J'ai donc écris:

    Montrer que est irrationnel revient à montrer, par l'absurde, qu'il est rationnel. Par définition, un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme où a et b sont supposés premiers entre eux.

    V2= a/b
    2=a2/b2
    a2=2b2


    On en déduis alors que a² est pair, donc a l'est aussi. Il existe alors un réel k tel que a = 2k, soit a² = 4k². Ob substitue :

    4k² = 2b²
    2k² = b²

    On en déduis alors que b² est pair, donc b l'est aussi. Il existe alors un réel m tel que b = 2m, soit b² = 4m². On substitue :

    2k² = 4m²
    k² = 2m², ce qui revient à a² = 2b².

    De notre équation de départ on est arrivé à une autre équation identique, plus petite, après diverses transformations (divisions). Ce qui revient à dire alors que les solutions pour a et b sont divisibles par 2 à l'infini* (on pourrait recommencer les étapes précédentes à l'infini : "On en déduis que k² est pair, donc k l'est aussi. Alors il existe un réel n tel que k² = 4n² etc" et retomber, après diverses divisions, sur notre équation de départ). Or il n'existe aucun nombre ayant la propriété d'être divisible par 2 ,tout en donnant un résultat entier, à l'infini (hormis 0). On en déduis alors qu'il n'existe aucun réel a et b tel que . On en conclus donc que est irrationnel.

    * = principe de la descente infinie



    Tout ceci était sur un brouillon et mon prof m'a dit:

    Si tu réussi a bien me rédigé le théoreme de la descente infini et ton raisonnement, alors tu me le met a la suite du DM dirigé (en suivant toutes les question donnés) et je te met la meilleurs notes entre les 2.

    Alors ma question est: ou sont les erreurs de rédactions?

    Merci

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    feldid

    Re : Théoreme de la descente infini

    Citation Envoyé par EdouardBG Voir le message
    Bonjour,

    j'avais un DM a faire ou je devais prouver par l'absure que racine de 2 (noté V2) est un irrationnel en partant du fait qu'il est rationnel.

    On a donc : V2=a/b ou a et b sont des entiers naturels premier entres eux.

    J'ai donc écris:

    Montrer que est irrationnel revient à montrer, par l'absurde, qu'il est rationnel. Par définition, un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme où a et b sont supposés premiers entre eux.

    V2= a/b
    2=a2/b2
    a2=2b2


    On en déduis alors que a² est pair, donc a l'est aussi. Il existe alors un réel k tel que a = 2k, soit a² = 4k². Ob substitue :

    4k² = 2b²
    2k² = b²

    On en déduis alors que b² est pair, donc b l'est aussi. Il existe alors un réel m tel que b = 2m, soit b² = 4m². On substitue :

    2k² = 4m²
    k² = 2m², ce qui revient à a² = 2b².

    De notre équation de départ on est arrivé à une autre équation identique, plus petite, après diverses transformations (divisions). Ce qui revient à dire alors que les solutions pour a et b sont divisibles par 2 à l'infini* (on pourrait recommencer les étapes précédentes à l'infini : "On en déduis que k² est pair, donc k l'est aussi. Alors il existe un réel n tel que k² = 4n² etc" et retomber, après diverses divisions, sur notre équation de départ). Or il n'existe aucun nombre ayant la propriété d'être divisible par 2 ,tout en donnant un résultat entier, à l'infini (hormis 0). On en déduis alors qu'il n'existe aucun réel a et b tel que . On en conclus donc que est irrationnel.

    * = principe de la descente infinie




    Merci
    d'abord bravo pour ta solution
    ensuite je pense que la seule chose qui cloche ce sont les phrases:
    Il existe alors un réel k: ENTIER k
    Alors il existe un réel n tel que k² = 4n² : un ENTIER
    il n'existe pas de nombre...: il n'existe pas de nombre ENTIER tel que...
    il n'existe aucun réel a et b : aucun ENTIER
    etc j'en ai peut-être oublié

  4. #3
    EdouardBG

    Re : Théoreme de la descente infini

    D'accord en fait, il faut que je change les réels mal place en entier (relatif? il me semble que non mais bon...)

  5. #4
    Guillaume.B

    Re : Théoreme de la descente infini

    d'abord bravo pour ta solution
    Héhé grâce à qui ?

    Humm, je ne vois pas ce qui cloche dans ma démo ..... Sûrement par rapport au théorème de la descente infinie, alors rédigeons-le autrement :

    [ .... ]

    2k² = 4m²
    k² = 2m², ce qui revient à a² = 2b².

    De notre équation de départ, nous sommes arrivés après des transformations (divisions) à une autre équation identique, mais plus petite (suite d'entiers décroissants). Si après de telles transformations on revient sur l'équation de départ, cela signifie que si l'on prend notre équation finale obtenue et qu'on lui refait subir ces même transformations et retombera alors sur notre équation initiale : on peut donc alors appliquer ces mêmes transformations à l'infini et revenir sur notre équation de départ à chaque fois. Or le principe de la descente infinie stipule qu'une suite infinie d'entiers décroissants n'existe pas. On en déduis alors qu'il n'existe aucun (a;b) tel que a² = 2b² et donc V(2) est irrationel.

  6. A voir en vidéo sur Futura

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