matrices

[inviteb8113259]

salut a tous.Est-ce que quelqu'un pourrait maider a completer la reponse a cette question?
La question est: Demontrer que Sn(k) (l'ensemble des matrices symetriques)et An(k) (lensemble des matrices antisymétriques) sont 2 sev supplémentaires de Mn(k)(lesemble des matrices carrees d'ordre n avec K un corps commutatif)

Jai dabord démontré que l'intersection de Sn(K)et An(k) est {0} .
Ensuite pour monterer que Mn(K)=Sn(K)+An(K) jai pense que je pourrai utiliser l'egalite des dimensions.En effet si on a
dim(Sn(K)+An(K))=dim Sn(K)+dimAn(K)= dim Mn(K)=n^2 alors on aura Mn(K)=Sn(K)+An(K) Le probleme est que jarrive pas a trouver les dim de Sn(K) et An(K). Si quelqu'un le sait ca m'aidereai beaucoup.merci.
-----

[Quinto]

C'est assez facile:
C'est n(n+1)/2 et n(n-1)/2
Pour trouver ca il suffit de trouver le nombre de cases au dessus de la diagonale dans un tableau en considérant ou non la diagonale...

Reste à trouver pourquoi....

[inviteca3a9be7]

Juste pour ramener ma fraise , il faut que le corps soit de caractéristique != 2, non ?

Pô frapper

[inviteb8113259]

C'est assez facile:
C'est n(n+1)/2 et n(n-1)/2
Pour trouver ca il suffit de trouver le nombre de cases au dessus de la diagonale dans un tableau en considérant ou non la diagonale...

Reste à trouver pourquoi....

oui, justement mon probleme est de prouver pouquoi n(n+1)/2 et n(n-1)/2 ... ?? (Jai pas tres bien compris quel rapport avec le nbre de cases du tableau)

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb8113259]

en fait si, je vois ce que tu veux dire Quinto...mais je me demandais si il est possible de trouver une base pour Sn(k) et An(k) afin de chercher les dimensions...

[Quinto]

Bein les bases sont facile à trouver quand même....

Pour les matrices symétriques tu as tous les matrices Eii plus les matrices (Eij+Eji) et pour les antisymétriques tu as les matrices (Eij-Eji).
C'est quand même assez évident...

[Quinto]

Jai pas tres bien compris quel rapport avec le nbre de cases du tableau

Est ce que tu vois ce qu'est une matrice symétrique?
Si oui, y'a pas de problème normalement:
dès que tu fixes un coefficient qui n'est pas sur la diagonale, tu en fixes en réalité un 2e de l'autre coté de la diagonale.
Idem pour les antisymétrique.

Je rappelle que
A est symétrique <-> tA=A
A est antisymétrique <-> tA=-A

Si A est antisymétrique alors on voit que ses coefficients diagonaux sont forcément nul...
Donc déjà pour ta base il ne faut prendre aucune matrice Eii.
Et par le même raisonnement que pour les matrices symétriques on a le résultat....

[Quinto]

Pour montrer que ce sont 2sous espaces vectoriels de Mn(K) c'est simple, tu peux considérer les applications linéaires f et g de Mn(K) dans Mn(K) définie par
f(aij)=(aij-aji)
g(aij)=(aij+aji)

Tu remarques que ker(f) est exactement l'ensemble .... et que ker(g) est exactement l'ensemble ...

Et comme on sait que le noyau d'une application linéaire est un sev de l'ensemble de départ....
En plus avec le théorème du rang on doit aussi avoir les dimensions des espaces je pense.....

[invite51f4efbf]

Au passage pour rebondir sur l'intervention de Quinto : une chose que j'ai souvent vu cette année en corrigeant des copies sur de tels exercices est que les étudiants montrent que l'intersection est réduite à zéro et que les espaces somment à l'espace tout entier, mais oublient régulièrement de montrer qu'il s'agit de sous-espaces vectoriels. C'est pourtant demandé dans la question, aussi c'est bien d'y penser

Amicalement,
Stephen

[Quinto]

Salut,

Ensuite pour monterer que Mn(K)=Sn(K)+An(K) jai pense que je pourrai utiliser l'egalite des dimensions.En effet si on a
dim(Sn(K)+An(K))=dim Sn(K)+dimAn(K)

Pourquoi donc?

revenons à nos moutons:
g(A)=tA+A

g est clairement linéaire.
ker(g) est donc un sev de Mn(K)

Remarquons que Im(g) est l'ensemble des matrices symétriques, en effet, pour toute matrice M de Mn(K),
g(M)=tM+M et t(g(M))=t(tM+M)=t(tM)+tM par linéarité et la transposition est involutive donc t(g(M))=g(M)

On obtient alors ainsi que Sn(K) est un sev de Mn(K) puisque Im(g)=Sn(K) et Im(g) est un sev de l'espace d'arrivé.

On a ainsi d'après le théorème du rang:

n²=dim(Sn(K))+Dim(ker(g)) or ker(g)=An(K) (g(M)=0 <-> M+tM=0 <->tM=-M)
j'appelle s=dim(Sn(K)) et a=dim(An(K))

n²=a+s c'est ce qui était demandé.

[inviteca3a9be7]

On peut aussi noter que A = (A+tA)/2 + (A-tA)/2 et que 0 est la seule matrice symétrique et anti-symétrique. Fini.

[invite51f4efbf]

Une méthode supplémentaire : trouver une forme bilinéaire sur , qui soit non dégénérée sur l'un des sous-espaces, et telle que les deux soient orthogonaux. Le théorème du supplémentaire orthogonal permet de conclure. Il ne reste qu'à trouver la forme bilinéaire

[Quinto]

Salut,
je voulais partir dans les formes bilinéaires, mais l'idée est que la question doit etre du niveau de 1e année, et les formes bilinéaires se voient pas forcément en 1e année.

En fait j'aurai voulu avec 2applications linéaires, trouver directement a et s avec un système par exemple.
En fait c'est marrant f(Mn(K))=An(K) et g(Mn(K))=Sn(K)


Pour revenir aux formes bilinéaires, est ce qu'on est obligé de la trouver? On doit bien pouvoir juste montrer qu'elle existe sans la chercher j'imagine...

[invite51f4efbf]

Salut,
je voulais partir dans les formes bilinéaires, mais l'idée est que la question doit etre du niveau de 1e année, et les formes bilinéaires se voient pas forcément en 1e année.

Toutafé, c'était juste pour rappeler que ce théorème existe et qu'il peut être pratique parfois. La meilleure solution est celle de en fait. La mienne n'est là que pour le cas où un problème ne possédant pas une solution aussi élégante et simple se présente

Pour revenir aux formes bilinéaires, est ce qu'on est obligé de la trouver? On doit bien pouvoir juste montrer qu'elle existe sans la chercher j'imagine...

Ben une fois que tu as le fait qu'il s'agit d'une somme directe, clairement : tu la construis sur chaque espace, et tu fais la somme directe externe des deux sommes. La construction sur chaque espace doit être assurée assez facilement. Par contre il faut supposer la conclusion pour ce raisonnement. Comme ça à froid je n'en vois pas d'autre, mais je me poserai la question.

Amicalement,
Stephen

[Quinto]

Salut,
j'ai remarqué que f et g donnaient 2espaces supplémentaires de Mn(K), et en fait la remarque de µµtt est la même qui consiste à dire que l'ensemble Mn(K) est la somme directe de An(K) et de Sn(K), ce qui termine l'exercice assez rapidement.

Dans mon cas il s'agit de fonctions, est ce que si on a 2applications f,g de L(E,F) telles que f(E)+g(E)=F celà porte un nom particulier?
Ca me fait étrangement penser à 2projecteurs...
D'ailleurs n'a t'on pas g(g(M))=g(M)... ?

Mais dans le cas général de où f(E)+g(E)=F, est ce que l'on peut déduire des choses sur l'une des 2 applications à partir des propriétés de l'autre?
Un peu comme lorsque l'on étudie les adjoints par exemple.