Un produit de cosinus

[invite42abb461]

Bonjour, je souhaiterais calculer le produit suivant :



où a est un réel dans moins pi, pi
Je pense qu'il faut tout développer mais meme ca je ne vois pas comment le faire intelligemment.
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[invited5b2473a]

Je pense qu'en utilisant sin(2x)=2sin(x)cos(x), tu dois obtenir quelque chose d'intéressant.

[invite42abb461]

En passant au logarithme je trouve une somme téléscopique qui finalement est nulle. Ce produit vaudrait donc 1 ?

[invitedf667161]

En passant au logarithme je trouve une somme téléscopique qui finalement est nulle. Ce produit vaudrait donc 1 ?

Pour n=1, ce n'est pas vrai ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite42abb461]

Pour n=1, ce n'est pas vrai ...

Alors je développe pour détecter l'erreur.
Comme on a :



en prenant le log du produit il vient :



Ceci donne, par telescoping, ln(sina) - ln(sin(a/2^n))- nln2, ce qui me donne 1...

[invite636fa06b]

Ceci donne, par telescoping, ln(sina) - ln(sin(a/2^n))- nln2,

Jusqu'ici c'est bon

ce qui me donne 1...

là ça ne l'est plus

[invite42abb461]

Quand je disais un je parlais du produit. Car :
ln(sina) - ln(sina) + ln(2^n) - nln2 = ZERO
donc en repassant a l'exponentielle, je trouve 1...

[invitedf667161]

Je crois que tu sors le facteur 2^n de l'intérieur du sinus comme un magicien sort un lapin de son chapeau ...

[invite42abb461]

Merci bien, c'est le genre de truc sur lequel j'aurais pu rester bloqué toute ma vie (imaginez ce que ca donne 4heures de DS !)
La limite finale est donc sin(a) sur a ?

[inviteaf1870ed]

Tu n'as pas besoin de passer au log, ton produit est également télescopique.
Je trouve plutôt sin(a)/2ⁿsin(a/2ⁿ)

[invite42abb461]

Oui mais en passant a la limite ?

[invited9d78a37]

c'est un sinus cardinal 2nsin(a/2n)

[invite4ef352d8]

ouai, c'est bien sin(a)/a en passant à la limite.


mais sa ne sert vraiment à rien de passer au log,c'est meme genant vis a vis de la positivité (pour certain valeur de a, ca peut-etre négatif...) et le telescopage est aussi claire sur le produit que sur la somme.