recherche de dimension

[invite60ce709c]

bonjour les gens!!!!
j'aurais besoin d'aide pour la dimension d'une base de la sev suivante:
H={(x,y,z,t) tq x-y+z+t=0 et 2x+3y-z+4t=0}
voila et merci d'avance...!
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[inviteae1ed006]

Bonjour,
x-y+z+t=0 et 2x+3y-z+4t=0




sauf erreur de ma part...
et donc :

C'est donc l'ev engendré par :
et

[invitec053041c]

Pour ce qui est de la dimension, ton sev est l'intersection des noyaux de deux formes linéaires non proportionnelles.
Comme ton ev est de dimension 4, alors théoriquement ton sev a pour dimension 4-2=2.

Tu pouvais aussi montrer que les vecteurs qui engendrent sont libres, donc que c'est bien de dimension 2.

[invite60ce709c]

merci beaucoup pour la reponse mais est ce que c'est toujours de cette façon qu'il faut procedé pour repondre a ce genre de question?
il faut essayer d'isoler un des termes et l'exprimé en fonction des autres?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Tout à fait henere, c'est en général ce qu'il faut faire lorsque l'on a ce genre de sev.
C'est d'ailleurs l'un des rares cas où, pour trouver une base (donc la dimension), on cherche une famille génératrice...

[invite60ce709c]

salut
une autres petite question que j'arive pas a resoudre:
soit une application de f:R²=>R^3:

a)f n'est jamais injective
b)f n'est jamais surjective
c)f est toujours injective
d)f est toujours surjective

enfait c'est un qcm et j'ai une petite (toute petite) idée de la reponse mais j'y mettrai pas ma main a bruler ni au feu et je voudrais la reponse (ou les reponses) a ce petit qcm
donc voile merci d'avance...!

[invite60ce709c]

petit details important que j'ai oublié de preciser est que l'application est lineaire...

[invitec053041c]

f: E->F
si (e1,..,en) est une base de E

f surjective ssi (f(e1),...,f(en)) engendre F
f injective ssi (f(e1),...,f(en)) est libre dans F
f bijective ssi f injective et f surjective, ie (f(e1),...,f(en)) est une base de F.

Tu sais que 2 espaces isomorphes ont même dimension, donc tu sais déjà que ta fonction ne peut pas être bijective.
Si (e1,e2) base de R2, alors tout élément de R2 est entièrement défini par (f(e1),f(e2)) ne contenant que 2 éléments. Donc (f(e1),f(e2)) ne peut pas être générateur de R3, mais peut être libre dans le meilleur des cas
Traduis donc celà en terme d'injectif et surjectif

NB: tu peux aussi voir cela en terme de dimensions grâce au théorème du rang.


Cordialement.