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équa diff => galère



  1. #1
    RealCI

    équa diff => galère


    ------

    Bonjour,

    je n'arrive pas à résoudre l'équation différentielle suivante:

    2y'+xy=x3

    Ce que j'ai fais:
    1) 2y'+xy=0
    => y=Ae-1/4*x²

    2) Méthode de variation de la constante:
    y=A[x]e-1/4*x² (le tout *x)
    y'=A'[x]e-1/4*x²-1/2*xA[x]e-1/4x² (le tout *2)

    => 2A'[x]e-1/4 x²=x3
    => A[x]= intégrale x3/(2e-1/4x²)

    je ne trouve pas comment intégrer ceci simplement...

    Merci d'avance,
    Florian

    -----

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  3. #2
    invite43219988

    Re : équa diff => galère

    Bonjour !
    Tu fais une Intégration Par Parties en posant u=x² et v'=x*exp(-1/4*x²) et tu trouves ce que tu cherches !
    Bonne journée !

  4. #3
    Médiat

    Re : équa diff => galère

    Il me semble que ta dernière primitive se calcule aisément à l'aide d'intégration par parties en remarquant simplement que

    =
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    ZZarou

    Re : équa diff => galère

    Bonjour,
    Je viens de le faire par changement de variable u=x²
    je trouve après une IPP :
    (1/16)e^(u/4)*[u-(1/4)] (+cste mais on s'en moque ici)
    aux erreurs de calculs près qui me caractérise
    La réussite n'est que le fruit d'une succession d'échecs...

  6. #5
    RealCI

    Re : équa diff => galère

    je trouve ceci:

    u=x² => u'=2x
    v'=xe1/4*x² <= v=2e1/4*x²

    A[x]=1/2[ (2x²e1/4*x²)-2 intégrale (xe1/4*x²)

    => A[x]=xe1/4*x²-2e1/4*x²

    donc y=Ae-1/4*x²+xe1/4*x²-2e1/4*x²

    Mon calcul est faux, la prof nous a donné ce résultat que je ne retrouve pas:
    y=Ae-x²/4+x²-4

    Merci de votre aide...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ZZarou

    Re : équa diff => galère

    Re,
    Oubli le résultat du dessus c'est bien ce que je disais je ne sais pas calculer. Au final je trouve bien x²-4... ouf

    Je pense que tu te compliques un peu la tâche.
    Passe tout en u.
    u=x²
    tu peux donc écrire que x=u
    donc tu as x3=u
    et un dx = *udu

    donc normallement tu te retrouves à devoir intégrer du ue^(u/4)du

    tu repasse en x à la fin et le tour est joué
    La réussite n'est que le fruit d'une succession d'échecs...

  9. Publicité
  10. #7
    RealCI

    Re : équa diff => galère

    Merci beaucoup . Je comprend ta méthode, mais je t'avoue que j'aimerais bien savoir ou est ma faute

    Si quelqu'un la trouve...

    Merci,
    Florian

  11. #8
    ZZarou

    Re : équa diff => galère

    Et bien ici

    A[x]=xe1/4*x²-2e1/4*x²

    il te manque x2 tu devrais avoir

    A[x]=xe1/4*x²-4e1/4*x²

    le 1/2 en facteur tue le 2, mais quand tu intègres tu as un 4 qui apparaît. ensuite n'oublie pas que ce que tu trouves c'est ton A(x).
    Pour obtenir la solution particulière il faut remonter à ton premier message ou tu as marqué que :
    y=Ae-1/4*x²
    en faisant solution de l'equa. homogène + ta solution particulière à savoir x²-4 ça marche.
    En espérant, t'avoir éclairé cette fois-ci.
    La réussite n'est que le fruit d'une succession d'échecs...

  12. #9
    rvz

    Re : équa diff => galère

    Citation Envoyé par RealCI Voir le message
    Bonjour,

    je n'arrive pas à résoudre l'équation différentielle suivante:

    2y'+xy=x3
    Salut,

    Pour compléter, je rappelle qu'on sait que les solutions d'une équation différentielle comme celle-ci forment un espace affine de dimension 1, de direction l'espace des solutions du problème homogène.
    Le problème est donc de calculer une solution particulière. On peut le faire par la méthode de la variation de la constante comme tu l'as proposé, mais en fait, une autre méthode, plus simple (en tout cas moins calculatoire, existe. Ca repose sur le fait très simple suivant :
    Tous les moyens sont bons pour trouver une solution particulière.

    En particulier, ici, puisque tous tes coefficients sont polynomiaux, et que ton second membre l'est aussi, il est naturel d'essayer un polynôme. Pour des questions de dimension, tu vas prendre un polynôme de degré 2, et tu vas donc chercher quelque chose de la forme
    ax^2 + bx +c. En mettant ça dans l'équation, tu obtiens:

    En égalisant les puissances de x, cela te dit que tu dois avoir
    a = 1
    b = 0
    4 a + c = 0, ie c = -1/4.
    et on tombe ainsi sur "la solution particulière la plus simple"

    __
    rvz

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