polynome

[inviteb3540c06]

bonjour tous le monde

petit souci avec l'exo suivant :

soient P et Q des polynomes de K[x].
montrer que si les polynomes P+Q et P-Q sont constants alors les polynomes p et Q st constants ?


merci
cordialement
-----

[Theyggdrazil]

Que sais-tu du degré de la somme ou de la différence de deux polynômes ?

Et que sais-tu du degré du produit d'un polynôme par un scalaire ?

Avec ces 2 indications, tu devrais assez vite trouver

[Coincoin]

Salut,
Encore plus simple et rapide : exprime P et Q en fonction de P-Q et P+Q...

[inviteb3540c06]

je suis coincoin et j'ai :
deg((p+q)(p-q))=deg p+deg q
mais que faire ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

non, en fait l'idee c'est de voir par exemple que



comme tu sais que P-Q et P+Q sont constants, tu peux conclure pour P...

[inviteb3540c06]

donc de p=1/2((p-q)+(p+q)) on en déduit :

deg p= 1/2 deg((p-q)+(p+q))

or deg(p-q)=deg(p+q)=0 donc deg((p-q)+(p+q))=0 et l'on a donc deg p=0 donc p polynome constant
c juste ou ai je fais une erreur de raisonnement
merci
cordialement

[invitebe0cd90e]

oui, c'est juste, a un detail pres

deja, n'oublie pas que dans le cas general on a pas

deg(P+Q)=deg(P)+deg(Q)

mais seulement

deg(P+Q) deg(P)+deg(Q)

dans ce cas, ca marche puisque on a un degre inferieur ou egal a 0.

apres, n'oublions pas que traditionnellement, on considere que le polynome nul est de degré .. tu devrais peut etre distinguer ce cas...

[Theyggdrazil]

donc de p=1/2((p-q)+(p+q)) on en déduit :

deg p= 1/2 deg((p-q)+(p+q))

or deg(p-q)=deg(p+q)=0 donc deg((p-q)+(p+q))=0 et l'on a donc deg p=0 donc p polynome constant
c juste ou ai je fais une erreur de raisonnement
merci
cordialement

C'est ... complètement faux

Déjà, deg( lambda*P ) n'est pas égal à lambda*deg(P)
Ensuite, de la première affirmation tu ne peux tirer que... deg(P) = deg(P) ce qui ne nous avance à ... rien :P

Dernière chose : deg(P+Q) n'est PAS égal à deg(P) + deg(Q), mais deg(P+Q) <= max(deg(P),deg(Q)).

Pour finir, ou bien tu utilises les degrés comme je l'ai conseillé ou effectivement tu fais comme coincoin l'a conseillé... P= 1/2 ((P+Q) + (P-Q)) et la somme de 2 constantes est une constante :P

[Theyggdrazil]

oui, c'est juste, a un detail pres

deja, n'oublie pas que dans le cas general on a pas

deg(P+Q)=deg(P)+deg(Q)

mais seulement

deg(P+Q) deg(P)+deg(Q)

dans ce cas, ca marche puisque on a un degre inferieur ou egal a 0.

apres, n'oublions pas que traditionnellement, on considere que le polynome nul est de degré .. tu devrais peut etre distinguer ce cas...

Si je puis me permettre, tu confonds deux choses :

deg(P+Q) <= max(deg(P),deg(Q))
et
deg(P*Q) <= deg(P) + deg(Q) (dans un anneau intègre, on a l'égalité)

[inviteb3540c06]

l'énoncé nous dit p+q et p-q constant et ce qu'on peut considérer le polynome nul comme constant ?

[invitebe0cd90e]

ah oui, j'avais pas vu le :

deg p= 1/2 deg((p-q)+(p+q))

et effectivement, oui, je voulais dire

deg (P+Q) max(deg(P),deg(Q))

c'est son post qui m'a fait ecrire des conneries...

[Theyggdrazil]

Au final la solution telle que je la voyais sur le coup, c'était d'écrire :

deg( (P+Q) + (P-Q) ) = deg(2P) = deg(P) <= max(deg(P+Q),deg(P-Q)) = 0

Donc on a l'alternative :

Soit deg(P) = -inf et donc P=0,
soit deg(P) = 0 et P est constant.

De même pour Q.

[invitebe0cd90e]

oui, c'est a eu pres a ca que je voulais l'amener avec ma premiere (et ma deuxieme modulo la bourde) intervention

[inviteb3540c06]

Theyggdrazil tu gère, mais comme même faut avouer que je n'était pas loin
merci
cdlt

[Theyggdrazil]

Hmm une précision quand même parce que ton avant-dernier post me fait peur :

Le polynôme nul est bien évidemment constant égal à 0

[inviteb3540c06]

donc si deg p=-inf ou si deg p=o ,p est constant

[inviteb3540c06]

merci encore

[inviteb3540c06]

encore une petite question :
est ce qu'on peut écrire deg ((p+q)-(p-q)) <= max(deg(p+q),deg(p-q)) ?
ou sinon deg(p-q) = deg(q-p) ?
merci
cdlt

[invitebe0cd90e]

on a evidemment que A-B = A+(-B), et par definition deg(A)=deg(-A)

et comme q-p = -(p-q), je te laisse conclure pour tes 2 affirmations.

[inviteb3540c06]

ok merci pour tout
@+

[invite6b1e2c2e]

Juste pour compléter tout ce qui a été dit: Si car(k) =2, cela ne marche pas: Par exemple, tous les couples (P(X),P(X)) avec P(X) un polynôme vérifient les hypothèses.

Sinon, en cararactéristique différente de 2, il n'y a bien sûr aucun problème.
__
rvz

[Theyggdrazil]

Si j'osais, je dirais que Poinserré est sûrement en sup, il ne doit donc pas savoir ce qu'est la caractéristique d'un corps :P

Mais merci de la précision, je n'avais pas envisagé ce cas

[inviteb3540c06]

je suis effectivement en sup

[invite6b1e2c2e]

Ok, peut-être ai-je un peu abusé de donné ce commentaire. Cela dit, il me semblait que c'était une remarque pertinente.

Pour poinserré, loin de moi l'envie de te définir la caractéristique d'un corps (encore qu'un coup d'oeil sur wiki t'éclairerait, tu verrais que ce n'est pas bien dur). Pour donner un exemple concret, Z/2Z est un corps de caractéristique 2. Notamment dans un tel corps, 1+1 = 1-1 =0. D'où mon contre exemple.

NB: Evidemment, il y a d'autres corps de caractéristique 2, par exemple Z/2Z(Y).

__
rvz

[inviteb3540c06]

Z/2Z ne serait ce pas l'ensemble de tous les entiers relatifs modulo 2 ?

[invite6b1e2c2e]

Z/2Z ne serait ce pas l'ensemble de tous les entiers relatifs modulo 2 ?

Si. Plus précisément, c'est l'ensemble {0,1} avec les lois additives et multiplicatives suivantes, induites par les lois de Z:
0+0 =1+1 = 0, (somme de deux (im)pairs est paire)
0+1 = 1+0 = 1, (somme d'un pariet d'un impair est impaire)
0*0 =1*0 = 0*1 = 0 (un pair * n'importe quoi est pair)
1*1 = 1 (impair * impair = impair)

On vérifie sans mal que c'est un corps. En fait, tu verras (ou tu as vu) que Z/nZ est un corps ssi n est premier. Tu verras plus tard qu'en fait Z/pZ, pour p premier, est un corps de caractéristique p, car 1+1+.. +1 (p fois) = 0. (en fait, la caractéristique d'un corps, c'est le plus petit nombre n tel que 1+... +1 (n fois) = 0, et que si ce nombre est fini, alors il est premier. Par convention, on parlera de caractéristique 0 (et pas + infini) lorsqu'il n'existe pas de tel n, par exemple pour le corps des complexes ou des rationnels. )
__
rvz

[inviteb3540c06]

ok merci pour tout rvz

[Theyggdrazil]

Z/2Z c'est {0,1} :P

C'est l'ensemble des classes d'équivalence pour la relation de congruence modulo 2.
C'est un corps à 2 éléments, de caractéristique 2.

Edit : Oubliez, rvz a répondu bien mieux :P

[GuYem]

J'apporte mon grain de sel en disant qu'il ne sert strictement à rien pour l'exercice proposé au départ d'utiliser les degrés !

[invitebe0cd90e]

bien sur, il fallait surtout remarquer comment obtenir P et Q a partir de (P-Q) et (P+Q).. ensuite, la somme de 2 constante en est encore une..

mais cette methode a l'avantage d'etre generale et reutilisable, et de comprendre ce qui se cache derriere cette evidence !