Intersection entre une droite et une ellipse

[invitebdd4831f]

Bonjour à tous,
j'ai un problème mathématique qui me tappe sur les nerfs ...

Voila j'aimerai trouver les 0,1 ou 2 points d'intersections en une droite quelconque et une ellipse...

Donc je sais trouvé les points d'intersections entre une droite passant par le centre de l'ellipse mais pour une droite quelconque, ... je sèche ...

Bref

donc j'ai une ellipse centrée sur O l'origine avec
a : grand axe
b : petit axe

une droite
y = kx + c

et je n'y arrive pas voilà si quelqu'un pouvait me donner un petit coup de pouce se serai simpat

Merci
-----

[inviteaf1870ed]

Une première remarque : l'équation de la droite que tu utilises ne te permets pas de prendre en compte les droites parallèles à l'axe des y, qui ont pour équation x=K

La méthode générale est d'écrire l'équation de l'ellipse sous la forme Ax²+By²+Cxy+Dx+Ey+F=0
Tu cherches l'intersection avec la droite y=kx+c, donc tu remplaces y par kx+c.
Tu trouves une équation du second degré en x, et tu discutes le nombre de solutions.

[invitebdd4831f]

OK merci pour cette réponse.

Sinon comment faire si l'on part avec une equation paramétrique du style :

x = a*cos(t)
y = b*sin(t)

je sais le faire avec une droite passant par l'origine mais j'ai du mal avec une droite quelconque ?

[invite118c6414]

Bonjour bonjour!

Soit l'équation d'une ellipse centrée en 0 : x^2/a^2 + y^2/b^2 =1
Soit une droite quelconque : y=kx+c
<=> tu prends l'équation de la droite, tu remplaces le y (ou le x) dans une des deux équations et tu résouds.
Dans ce cas : x^2/a^2 + (kx+c)^2/b^2 = 1
Donc, tu résouds l'équation du second ordre en x, tu trouves soit 0, 1, 2 racine(s) et tu trouves ta (tes) valeurs de y.

Follium

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite118c6414]

Bonjour bonjour!

Soit l'équation d'une ellipse centrée en 0 : x^2/a^2 + y^2/b^2 =1
Soit une droite quelconque : y=kx+c
<=> tu prends l'équation de la droite, tu remplaces le y (ou le x) dans une des deux équations et tu résouds.
Dans ce cas : x^2/a^2 + (kx+c)^2/b^2 = 1
Donc, tu résouds l'équation du second ordre en x, tu trouves soit 0, 1, 2 racine(s) et tu trouves ta (tes) valeurs de y.

Follium

Note : pour une ellipse centrée en (X, Y), son équation est (je pense, attention à mes erreurs de signes!) : ((x-X)^2)/a^2 + ((y-Y)^2)/b^2 = 1

Renote : tu peux généraliser ton résultat entre n'importe quelle courbe qui croiserait n'importe quelle autre courbe. Un exemple bizarre serait une courbe avec elle-même. Que donne 0=0? Une infinité ou 0 solution?

Follium

[invite118c6414]

Note : pour une ellipse centrée en (X, Y), son équation est (je pense, attention à mes erreurs de signes!) : ((x-X)^2)/a^2 + ((y-Y)^2)/b^2 = 1

Renote : tu peux généraliser ton résultat entre n'importe quelle courbe qui croiserait n'importe quelle autre courbe. Un exemple bizarre serait une courbe avec elle-même. Que donne 0=0? Une infinité ou 0 solution?

Follium

Encore moi
Pour les équations paramétriques, il faut que tu gères la trigo car dans ce cas, si tu as une solution en pi (par exemple), pi + 2pi est aussi solution et ainsi de suite...

Follium

[inviteff15dae9]

Bonjour, j'ai développé cette fonction qui retourne true quand il y a interception avec une ellipse, les valeur de ix et iy sont alors celle du point d'intersection.
Développé en GFABasic donc à modifier un peu pour vb.
J'espère que cela vous aidera.

Function IntersectionLineEllipse(x1#, y1#, x2#, y2#, cx#, cy#, rx#, ry#, ByRef ix#, ByRef iy#) As Boolean
  
  Local Double a, b, c, d, v, u, r
  
  r = rx / ry
  y1 = cy + (y1 - cy) * r
  y2 = cy + (y2 - cy) * r
  a = (x2 - x1) ^ 2 + (y2 - y1) ^ 2
  b = 2 * ( (x2 - x1) * (x1 - cx) + (y2 - y1) * (y1 - cy) )
  c = cx ^ 2 + cy ^ 2 + x1 ^ 2 + y1 ^ 2 - 2 * (cx * x1 + cy * y1 ) - rx ^ 2
  v = b * b - 4 * a * c
  
  If v >= 0
    u = (-b - Sqr(v))  / (2 * a) ' Replace by u=(-b + Sqr(v))  / (2 * a) for opposite point
    ix = x1 + u * (x2 - x1)
    iy = y1 + u * (y2 - y1)
    iy = cy + (iy - cy) / r
    Return True
  Else
    Return False
  EndIf
  
EndFunc

[inviteff15dae9]

Je suis parti du fait qu'une ellipse est un cercle déformé en y (ça aurait pu être x, peu importe). Je déforme donc la ligne en sens inverse pour trouver l'intersection avec un cercle de rayon rx (rayon en x) puis je re-déforme le résultat dans l'autre sens pour tomber sur l'ellipse. C'est donc le rapport rx / ry qui sert de facteur de déformation en y. C'est tout bête mais il fallait y penser.

[invitedd63ac7a]

Sinon comment faire si l'on part avec une équation paramétrique du style :
x = a*cos(t)
y = b*sin(t)
je sais le faire avec une droite passant par l'origine mais j'ai du mal avec une droite quelconque ?

L'équation d'une droite quelconque du plan est

Pour chercher l'intersection avec ton ellipse donnée sous forme paramétrique, on écrit :
, dans laquelle on cherche t.

On tombe sur l'équation générale
qui faisait le plaisir des lycéens des années 90 !
La méthode est jolie mais assez technique :
On pose (c'est de la magie blanche ) :

L'équation précédente devient :

Il reste donc à résoudre :

Discussion :
Si pas d'intersection.
Si une intersection.
Si 2 intersections.
On détermine un réel tel que
On résout ensuite

pour trouver
,
il suffit de remplacer ces valeurs dans l'équation paramétrique de l'ellipse pour trouver les éventuels points d'intersection.

[invite03889206]

Bonjour,
En algèbre linéaire, je pense qu'il est possible de déterminer les points ainsi :

Soit l'équation de l'ellipse :

et


Telles que

Et la droite :

avec :


alors :


Cordialement.