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Exercice partiel: récurrence...



  1. #1
    jojoflo

    Exercice partiel: récurrence...


    ------

    Bonjour à tous, c'est bientôt les partiels, et le prof de math de L1 éco fait comme chaque année des exercices identiques, seules les données changent. Mais le problème c'est que moi et les maths, nous faisons deux. Pouvez vous m'aider s'il vous plait?

    Exercice 1

    Soit Uk = 5k2 + k - 1
    et Sn=


    1) déterminer le polynôme P(X) du troisième degré sans terme constant tel que pour tout N, P(k+1) - P(k) = uk

    2) vérifier par récurrence que Sn = P(n+1) - P(0) et en déduire une expression explicite de Sn

    Réponses:

    1) P(k+1) - P(k) = uk = 5k2 + k - 1 = ax3 + bx2 + cx

    P(k+1) = a(k+1)3 + b(k+1)2 + c(k+1)
    P(k+1) = a(k3+3k2+3k+1) + b(k2+2k+1) + c(k+1)

    P(k) = ak3 + bk2 + ck

    P(k+1) - P(k) = a(3k2+3k+1) + b(2k+1) + c
    P(k+1) - P(k) = (3a)k2 + (3a+2b)k + (a+b+c)

    donc d'après uk,
    3a=5 donc a= 5/3
    3a+2b=1 donc 5+2b=1 donc b= -2
    a+b+c= -1 donc c= -2/3

    Est-ce juste ?

    La question 2, je ne vois pas comment il faut faire avec la récurrence et l'expression explicite de Sn, quelqu'un peut m'expliquer SVP ?

    -----
    Dernière modification par deep_turtle ; 24/05/2007 à 18h34.

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  3. #2
    ericcc

    Re : Exercice partiel: récurrence...

    Pour Sn, commence par exprimer la somme un+un-1 en fonction de P(n). Quelque chose d'évident devrait t'apparaître. Tu en déduiras facilement l'expression de Sn.

    Ceci dit il y a encore plus simple, si tu connais l'expression exacte de

  4. #3
    erff

    Re : Exercice partiel: récurrence...

    Utilise le fait que S(n+1)=S(n) + P(n+1)-P(n)
    En utilisant l'hypothèse de récurrence, le P(n) va se simplifier et tu auras montré l'hérédité.

  5. #4
    jojoflo

    Re : Exercice partiel: récurrence...

    ericc, pourquoi un+un-1 stp ? J'ai essayé de faire comme tu as dit erff mais, je n'arrive pas, je ne comprends pas a quoi ça sert:

    j'ai fait:

    Sn+1 = Sn + uk ???

    Sn+1= 5/3 (k3+3k2+3k+1) - 2(k2+2k+1) - 2/3(k+1) = 5/3k3 + 3K2 + 1/3k - 1
    Sn + uk = 5/3k3 + 2k2 - 2/3k + 5k2 + k - 1 = 5/3k3 + 3K2 + 1/3k - 1 donc Sn+1 = Sn + uk

    Sn = Sn+1 - uk

    et uk = Pn+1 - Pn

    donc P(0) = uk alors k=0 ....

    je tourne en rond, je ne vois pas qu'est ce qu'il faut faire... Pouvez vous me donner plus d'indications?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    El Matador

    Re : Exercice partiel: récurrence...

    Pour la question 1 je pense que c'est bon.
    Pour la question 2, developpe dans Sn Uk=P(k+1)-P(k). Par exemple je te donne le debut:
    Sn=[P(1)-P(0)]+[P(2)-P(1)]+[P(3)-P(2)]+[P(4)-P(3)]+[P(5)-P(4)]+[P(6)-P(5)]+....[P(n)-P(n-1)]+[P(n+1)-P(n)]. Tu vois toi meme que tous les termes s'annulent(P(1), P(2), P(3), P4, P(5), P(6),...P(n)). Au final tu simplifies et tu obtiens la relation demandée

  8. #6
    jojoflo

    Re : Exercice partiel: récurrence...

    ok merci beaucoup j'ai compris maintenant, en simplifiant il reste Sn= -P(0)+ P(n+1), c'est pas sorcier une fois compris. Merci encore.

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