Exercice partiel: récurrence...

[invite40955be5]

Bonjour à tous, c'est bientôt les partiels, et le prof de math de L1 éco fait comme chaque année des exercices identiques, seules les données changent. Mais le problème c'est que moi et les maths, nous faisons deux. Pouvez vous m'aider s'il vous plait?

Exercice 1

Soit U_k = 5k² + k - 1
et S_n=


1) déterminer le polynôme P(X) du troisième degré sans terme constant tel que pour tout N, P(k+1) - P(k) = u_k

2) vérifier par récurrence que S_n = P(n+1) - P(0) et en déduire une expression explicite de S_n

Réponses:

1) P(k+1) - P(k) = u_k = 5k² + k - 1 = ax³ + bx² + cx

P(k+1) = a(k+1)³ + b(k+1)² + c(k+1)
P(k+1) = a(k³+3k²+3k+1) + b(k²+2k+1) + c(k+1)

P(k) = ak³ + bk² + ck

P(k+1) - P(k) = a(3k²+3k+1) + b(2k+1) + c
P(k+1) - P(k) = (3a)k² + (3a+2b)k + (a+b+c)

donc d'après u_k,
3a=5 donc a= 5/3
3a+2b=1 donc 5+2b=1 donc b= -2
a+b+c= -1 donc c= -2/3

Est-ce juste ?

La question 2, je ne vois pas comment il faut faire avec la récurrence et l'expression explicite de S_n, quelqu'un peut m'expliquer SVP ?
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[ericcc]

Pour Sn, commence par exprimer la somme u_n+u_n-1 en fonction de P(n). Quelque chose d'évident devrait t'apparaître. Tu en déduiras facilement l'expression de Sn.

Ceci dit il y a encore plus simple, si tu connais l'expression exacte de

[erff]

Utilise le fait que S(n+1)=S(n) + P(n+1)-P(n)
En utilisant l'hypothèse de récurrence, le P(n) va se simplifier et tu auras montré l'hérédité.

[invite40955be5]

ericc, pourquoi u_n+u_n-1 stp ? J'ai essayé de faire comme tu as dit erff mais, je n'arrive pas, je ne comprends pas a quoi ça sert:

j'ai fait:

S_n+1 = S_n + u_k ???

S_n+1= 5/3 (k³+3k²+3k+1) - 2(k²+2k+1) - 2/3(k+1) = 5/3k³ + 3K² + 1/3k - 1
S_n + u_k = 5/3k³ + 2k² - 2/3k + 5k² + k - 1 = 5/3k³ + 3K² + 1/3k - 1 donc S_n+1 = S_n + u_k

S_n = S_n+1 - uk

et uk = P_n+1 - P_n

donc P(0) = uk alors k=0 ....

je tourne en rond, je ne vois pas qu'est ce qu'il faut faire... Pouvez vous me donner plus d'indications?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited7005a5b]

Pour la question 1 je pense que c'est bon.
Pour la question 2, developpe dans Sn Uk=P(k+1)-P(k). Par exemple je te donne le debut:
Sn=[P(1)-P(0)]+[P(2)-P(1)]+[P(3)-P(2)]+[P(4)-P(3)]+[P(5)-P(4)]+[P(6)-P(5)]+....[P(n)-P(n-1)]+[P(n+1)-P(n)]. Tu vois toi meme que tous les termes s'annulent(P(1), P(2), P(3), P4, P(5), P(6),...P(n)). Au final tu simplifies et tu obtiens la relation demandée

[invite40955be5]

ok merci beaucoup j'ai compris maintenant, en simplifiant il reste Sn= -P(0)+ P(n+1), c'est pas sorcier une fois compris. Merci encore.