Primitive galère !

[invite636fa06b]

Bonjour hterolle,
La notation df=f'(x).dx est une différentielle, c'est à dire une fonction qui à une variation de x que l'on note dx fait correspondre la variation de la valeur de la fonction (notée df). En fait, on utilise la tangente et non la fonction elle-même.
Donc ce n'est exact que si les df et dx sont très petits, en fait s'ils tendent vers zéro.
Avec des fonctions d'une seule variable on passe facilement d'une notation à l'autre.
est équivalent à
Avec une fonction de deux variables, c'est un peut plus compliqué mais on voit bien que l'écriture différentielle correspond à une application
par exemple f(x,y) de R² dans R alors
où f'x et f'y représentent les dérivées partielles (calculées en supposant l'autre variable constante)
-----

[Bleyblue]

Ce n'est pas bien grave de toute façon je pense, c'est juste des notations, elles varient pas mal d'une région à l'autre, il faut juste parvenire à se comprendre

[invitea666f0bb]

La primitive de u(t) = t²/(1+t²)² est = (1/2t)*[ Log(1+t²) + (1/(1+t²)]

Slts

[invitea666f0bb]

Développement

La primitive de u(t) = t²/(1+t²)² est = (1/2t)*[ Log(1+t²) + (1/(1+t²)]

Pour cela, il faut écrire :

u(t) = (1+t² -1) / (1+t²)²
Poser par exemple W=1+t² ce qui done

u(t) = (W-1) / W²
u(t) = (W/W²)-(1/W²) en simplifiant
u(t) = (1/W)+(-1/w²)
INTEGRALE = INT à la place du symbole mathématique
ATTENTION : comme W=1+t², dW = d(1+t2) = 2tdt, soit dt = dW/2t

Alors
INT(u(t)) = INT {(1/W)+(-1/w²)} dW/2t
INT(u(t)) = (1/2t)* INT {(1/W)+(-1/W²)}dW- puisque la variable est W et non t

On reconnait facilement la dérivé d'un Log et d'une fraction,
INT(1/W)dW = [log(W)]'
INT(-1/W²)dW = (1/W)'

D'ou INT(u(t)) = (1/2t)* { log(W) + 1/W }
On remplace W par 1+t² => (1/2t)*{log(1+t²) + 1/(1+t²)}

Il suffit de dériver la fonction pour vérifier que le résultat est bon.


Slts

[Bleyblue]

INT(u(t)) = (1/2t)* INT {(1/W)+(-1/W²)}dW- puisque la variable est W et non t

Mais tu ne peux pas faire ça car ta variable t dépend de ta variable W ...

[invitea666f0bb]

Retour sur la résolution du problème, effectivement Bleyblue je n'ai pas le droit de sortir W.

Dans le départ, il faut bien bien faire un changement de variable, mais ne pas utiliser la méthode transformant une "Fraction rationnelle en somme de fractions élémentaires", mais la méthode de l'intégration par partie.

Int(u.dv) = u.v - Int(V.du)

Modifions Int{(t²/(1+t²)²).dt} en 2 parties, Int{((-t/2).(-2t/(1+t²)²)dt}

avec
U = -t/2, => dU = (-1/2).dt
dV = (-2t/(1+t²)²)dt => V = 1/(1+t²)

UV =(-t/2).(1/(1+t²)) = -t/(2.(1+t²))

Int(V.du) = Int(1/(1+t²)).du

avec {dU = (-1/2).dt} cela devient : Int(1/(1+t²)).(-1/2).dt = (-1/2).Int(1/(1+t²)).dt = (-1/2).Arctg(t)

Faisons la somme
=> -t/(2.(1+t²)) + (-1/2).Arctg(t)

Soit F(t) = -t/(2.(1+t²))+(1/2).Arctg(t)

[inviteaf1870ed]

Poser u=t et v'=t/(1+t²)² et faire une IPP

[invitee75a2d43]

bon ben je vous remercie , je vais imprimer toutes vos réponses et tout vérifier. Chuis pas aussi rapide que vous

Christophe

[livre]

Bonjour,

Pour tester des primitives, il y a Mathematica en ligne.

Malheureusement, il ne donne pas le développement