Stabilité d'un système d'équation différentielle

[invite84aed657]

Bonjour,

Voilà j'ai un système d'équation différentielle:
x'=x(4-x-2y)
y'=y(-1+x-y)
avec x.y≥0

On trouve facielement que les points d'équilibres sont (0,0); (2,1); (4,0).

Il est pourtant possible d'étudier la stabilité du système autours de ces points sans pour autant résoudre ce système. On peut évidemment isoler la fonction x en la dérivant et en effectuent les nombreuses substituions mais cela nous donne une équation diff. d'ordre 2 au 3ème degré, donc trop complexe.

QQun sait-il s'il existe une méthode bcp plus efficace?


Merci d'avance
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[invite57e5945e]

Que les matheux regardent ailleurs, je vais parler en physicien :

Quand on souhaite etudier la stabilite au voisinage des points fixes, il faut lineariser le systeme autour de ces points.

Au voisinage des points fixes, le systeme se comporte comme le systeme lineaire associe
par exemple autour du point fixe (2,1) en posant u=x-2, v=y-1 on obtient un systeme du style :
u'=-(u+2)(u+v) = -2u -2v+o()
v'=(1+v)(u-v)=u-v+o()

on va donc considerer la matrice d'evolution
-2 -2
1 -1

par un nouveau changement de variable (en diagonalisant la matrice) ou va obtenir deux directions (celles des vecteurs propres) et deux stabilites (selon le signe des valeurs propres associees).

PS verifie mes calculs on ne sait jamais

Les matheux peuvent regarder a nouveau

[invite95062cef]

salut ca va dsl je crois

[invite84aed657]

Merci Murzabor,

En effet cette méthode me donne uniquement le point (2,1) comme point stable, ce qui correspond à la forme de spiral du système.

[A voir en vidéo sur Futura]