Fibonacci et arithmetique

[Deeprod]

Bonjour à tous,

J'ai besoin d'aide sur un exercice d'arithmetique
Soit F une suite définie par :




Montrer que est premier avec

Indications : utiliser :

| 0 1 |^n
| 1 1 |

Quelqu'un pourrais m'orienter car je suis bloquer.
Merci
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[inviteae1ed006]

Bonjour,
tu peux le faire tout simplement par récurrence avec la relation de Bézout.

[Médiat]

Un tout petit raisonnement par l'absurde va très bien aussi :
soit n le plus petit entier tel que et aient un facteur commun > 1, comme , on en conclut que n-1 convient aussi donc n n'est pas le plus petit (il faut aussi une petite discussion dans le cas ou n = 0).

[Deeprod]

Bien merci, pour infos j'ai trouver encore une autre démo :

| Fn |
| Fn+1 |

=

| 0 1 |^n
| 1 1 |

x

| F0 |
| F1 |


On en déduit que F1 est PGCD, or F1 = 1, donc ils sont premiers entre eux.

[A voir en vidéo sur Futura]