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Primitive et changement de variable



  1. #1
    le fouineur

    Question Primitive et changement de variable


    ------

    Bonjour à tous,

    Je reste bloqué sur la primitive suivante, n'arrivant pas à déterminer un changement de vaiable convenable pour pouvoir la calculer:



    Auriez-vous une idée pour ce faire?

    Merci d'avance pour vos réponses.... cordialement le fouineur

    -----

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  3. #2
    ericcc

    Re : Primitive et changement de variable

    As tu essayé une IPP ?

  4. #3
    le fouineur

    Re : Primitive et changement de variable

    Bonjour ericcc,

    Une IPP me semble en effet la bonne méthode mais je retombe sur un os:

    Comment primitiver:




    En transformant un peu cette expression on doit aboutir à un arcsin, mais je ne vois pas comment procéder?

    Merci de me répondre

  5. #4
    Bleyblue

    Re : Primitive et changement de variable

    Salut,

    Moi je ferais ça comme ça (il existe peut être d'autres méthodes) :

    x = -2x/-2 = - (2 - 2x)/2 + 1

    donc ton intégrale devient :



    La premier est immédiate et pour la seconde :

    et tu te ramènes à une immédiate

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    zinia

    Re : Primitive et changement de variable

    Bonjour,
    Tu peux aussi poser u=x-1 et séparer ton intégrale en deux membres

  8. #6
    Bleyblue

    Re : Primitive et changement de variable

    En transformant un peu cette expression on doit aboutir à un arcsin, mais je ne vois pas comment procéder?
    Oui donc, ça donne Arcsin(x - 1) + C (cf mon message ci dessus)

    EDIT : Croisement avec Zinia

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  10. #7
    le fouineur

    Re : Primitive et changement de variable

    Bonjour Bleyblue et zinia, merci pour vos réponses rapides

    Il y avait effectivement une astuce à découvrir pour pouvoir transformer l'écriture de la primitive à calculer.Mais l'exercice était censé appliquer les changements de variables,c'est pourquoi j'ai persisté dans cette voie sans rien trouver....

    cordialement le fouineur

  11. #8
    ericcc

    Re : Primitive et changement de variable

    J'ai regardé sur The Integrator et je ne vois pas d'Arcsin dans la primitive ?? Par contre il me semble que l'on peut y arriver en divisant numérateur et dénominateur par x, et en posant u = sqrt(2/x-1) ?

  12. #9
    ericcc

    Re : Primitive et changement de variable

    Et je trouve -sqrt(2x-x²)-2Arctan(sqrt(2/x-1)) à la constante près. Les deux écritures sont elles équivalentes ?

  13. #10
    Bleyblue

    Re : Primitive et changement de variable

    Tiens, curieux ça, il faudrait essayer de développer un peu voir si on peut exprimer l'une comme l'autre + une constante (mais un actan et un arcsin à priori ...)

  14. #11
    zinia

    Re : Primitive et changement de variable

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Tiens, curieux ça, il faudrait essayer de développer un peu voir si on peut exprimer l'une comme l'autre + une constante (mais un actan et un arcsin à priori ...)
    Oui, on a bien


  15. #12
    ericcc

    Re : Primitive et changement de variable

    Voici la primitive donnée par The Integrator :
    (x²-2x + 2 Sqrt[x-2] Sqrt[x] Log[Sqrt[x-2] + Sqrt[x]]) / Sqrt[x²-2x]

    Il n'y a ni Arcsin ni Arctan !

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  17. #13
    Bleyblue

    Re : Primitive et changement de variable

    Mais ci dessus en faisant le calcul à la main tu trouves du arctan.

    Moi j'ai essayé avec Mupad et ça me donne bel et bien ce que j'ai calculé en tout cas (avec du arcsin donc)

    Sinon je ne connaissais pas la formule Zinia, c'est mignon

  18. #14
    zinia

    Re : Primitive et changement de variable

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Sinon je ne connaissais pas la formule Zinia, c'est mignon
    Comment, en Belgique, on n'enseigne pas ça par coeur ?
    Sinon, pour ericcc : tu as du entrer x²-2x sous la racine au lieu de 2x-x² et la détermination du log complexe, c'est bien un arcsin !

  19. #15
    ericcc

    Re : Primitive et changement de variable

    Non j'ai bien entré 2x-x², et c'est bien le log naturel. Ceci dit tu dois avoir raison The Integrator doit passer par le log complexe. Je reste néanmoins curieux de savoir si la formule avec le log est valable pour une variable réelle ?

  20. #16
    Bleyblue

    Citation Envoyé par Zinia
    Comment, en Belgique, on n'enseigne pas ça par coeur ?
    Eh bien non, pas cette formule la en tout cas

    Note je suis loin d'être un référence : Cela fait des années que je fais des math et cos(x + y) de mémoire je ne sais pas ce que ça vaut (retenire des choses par coeur il faut vraiment que je me force )

    Sinon pour ce qui est d'intégrer dans les complexes moi j'évite autant que je peux, j'ai toujours peur de me retrouver coincer dans C sans pouvoir revenir dans le monde réel (si j'ose dire ... )

  21. #17
    zinia

    Re : Primitive et changement de variable

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Je reste néanmoins curieux de savoir si la formule avec le log est valable pour une variable réelle ?
    En tenant compte que pour que la fonction initiale ait un sens dans R, il faut que 0<x<2, ton résultat s'écrit :

    donc ça colle bien

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