racine d'un négatif

[invitefdc42b6b]

Salut tlm,

Je suis en classe de 1ère et une question me chipote depuis 1 an environ. Je sais que l'on peut calculer la racine d'un négatif, donc avoir un carré négatif. Or, j'ai mainte fois demandé à mon prof de maths puis de physique en 2nd de m'expliquer, bien sûr il ne m'on rien dit en me rétorquant gentillement "Tu ne comprendras pas" ou "Ce n'est pas au programme" ou "Ce n'est pas du niveau de seconce", bref des reponses que je vous laisse imaginer.

Mais moi lorsque je résous une équation et que je tombe par hasard sur la racine de -1 par exemple, je sais qu'il existe une solution, mais je ne sais pas la calculer, et tlm l'ignore complètement.

J'ai fait des recherches sur le web, mais les sites sont mal expliqués, mal fait ou simplement trop compliqués.

Alors est-ce que qq'un pourrait m'expliquer le principe, ça serait vraiment sympa même si pour certains d'entre vous, cela doit etre de la rigolade.

@+ et merci d'avance
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[invite6d8e4836]

Bonjour,

Il s'agit des nombres complexes.
En quelques mots car je voudrais aller me coucher (je pars à 5h).

1] Il n'y a pas de nombre réel dont le carré soit -1

2] Si je veux pouvoir définir un tel nombre, je dois étendre l'ensemble des réels. Je vais considérer des couples de réels, que je note par exemple (a, b).

2.2] Les couples de la forme (x, 0) sont identiques aux réels. Je vais les assimiler aux réels....et je vais les écrire x tout court.

2.2] De manière identique, je vais écrire les couples (0,y) sous la forme Iy, où I n'est pas un nombre mais, pour l'instant, une notation. Je ne vais pas assimiler ces couples aux réels, que je note selon le paragraphe 2.1].

Donc tout couple z=(x, y) s'écrira z=x+Iy
Je noterai 1I I tout court

3] Je définis une somme (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), ou encore (a+Ib)+(c+Id)=a+c+I(b+d). Facile
3] Je définis un produit
(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc) ou encore (a+Ib)*(c+Id)=(ac-bd)+I(ad+bc).

Si je fais b=d=0, je retrouve le produit réel habituel ac

Calculons (0,1)*(0,1) soit I fois I, j'obtiens (-1, 0) autrement dit -1.

J'ai fabriqué des nombres, dits "complexes", qui ne sont pas des nombres réels, où l'on peut trouver des carrés négatifs! Les nombres réels font partie des complexes car ils s'assimilent aux couples (x,0) = x+0I=x


Avec les deux opérations que j'ai définies, j'ai fabriqué un ensemble plus grand que R, et où je sais résoudre des équations du type z² +1=0.
N'essayez donc pas de calculer I numériquement.
Plus plus d'info, cherchez "nombres complexes" ou nombres imaginaires, un nombre Iy étant par définition un imaginaire pur.


D'autres personnes du forum apporteront d'autres precisions. La construction que je donne en est une parmi d'autres.

Bon courage


JM

[invitedebe236f]

faut savoir que les reels se place sur l axe des x
comme les imaginaires on 2 composantes il se place dans le plan x y

ce qu on note "i" est la racine de -1
i=0+1i ou (0,1)

il y a 2 autre imaginaires qui au carre = -1 si mes souvenir sont bon
je te laisse les trouver
en sachant que (a+ib)^2=-1
a² +2abi +i² b² =-1
a² +2abi - b² =-1 car i² =-1

[invite980a875f]

Imaginons que tu veuilles résoudre par exemple l'équation z^2=-7, avec z=a+ib.
On a: z^2=7i^2 car i^2=-1
En passant à la racine cela fait:
z=i sqrt(7) ou z=-i sqrt(7), avec sqrt =racine carrée.

Donc un nombre complexe est noté a+ib avec a et b réels. Un nombre imaginaire est réel si b=0 et imaginaire pur si a=0.

Autre chose: imagine un point dans un repère (qu'on appellera le repère complexe), qui a pour coordonnées (x;y). L'affixe de ce point est le nombre complexe x+iy. Ceci permet de représenter un nombre complexe dans un repère.

Voilà pour les bases, si tu veux approfondir, demande (il y a beaucoup de choses à dire!)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1f2b8183]

Salut
ne te casse pas la tete avec cela.Car concretement raine de -1 n'existe pas.c vrai qu'il y a un nombre complexe s'appelant i tq i*i = -1, mais c'est juste imaginaire servant surtout dans la geometrie.
Puisque d'apres ton message, t'es curieux de le savoir comme s'il est réel.

[soliris]

Ouais; ce qui est curieux, c'est que ce sont les plus calés qui refusent l'accès à toute imagination; quand on sait que depuis Mandelbrod on fabrique des structures dites fractales en pagaille, on se demande pourquoi Charles 67 n'obtient pas le plus petit élément de réponse.
De toute façon, imaginons un bolide possédant une vitesse normale; il s'éloigne à une vitesse "positive" d'un arbre, par exemple, sur le côté de la route.
D'après les lois de Galilée-Newton-Einstein sur la relativité du mouvement, l'arbre, en fait, RECULE en sens inverse à la vitesse négative du bolide (donc je peux trouver la racine négative de ce bolide)
Est-ce un tour de passe-passe ? Pas du tout, les problèmes relativistes pourraient être résolus par les racines négatives de vitesse ou plutôt d'accélérations, par exemple vis-à-vis du formidable défi que représente l'exemple des jumeaux de Langevin, le courronnement paradoxal de la relativité du mouvement.
Tout est donc une question d'imagination, d'adaptation d'un outil intéressant.

[invite00411460]

Salut
ne te casse pas la tete avec cela.Car concretement raine de -1 n'existe pas.c vrai qu'il y a un nombre complexe s'appelant i tq i*i = -1, mais c'est juste imaginaire servant surtout dans la geometrie.
Puisque d'apres ton message, t'es curieux de le savoir comme s'il est réel.

oulala ça ne sert pas du tout "surtout en géométrie".
ça sert absolument partout. s'il est curieux à ce point, c'est qu'il compte faire des sciences. c'est clair qu'on lui expliquera bien assez tôt, mais bon.

mais les complexes servent vraiment vraiment partout, c'est finalement assez "réel"

[invite6d8e4836]

Bonjour,

J'ai plusieurs remarques.
Tout d'abord "concrètement racine de -1 n'existe pas". Ce n'est pas vrai. Il n'y a simplement pas de nombre réel qui ait cette propriété. Je comprend très bien toutefois cette assertion: au début, quand les complexes n'étaient pas formalisés rigoureusement, de nombreux mathématiciens hurlaient contre les nombres "imaginaires" qui n'avaient rien de "réels". C'est de là que vient ce terme "imaginaire". On parlait aussi de nombres impossibles. Mais les calculs marchaient si l'on admettait ces nombres. Ils avaient raison d'hurler, la formalisation n'était pas faite.
On peut aller au delà. L'ensemble C des complexes est "la cloture algébrique des réels. C'est une opération très générale sur les corps de nombres: il n'y a pas que les réels. Hamilton a par exemple voulu aller au delà et a créé les quaternions, qui sont des nombres "à 4 dimensions" comme les complexes le sont "à deux". Le problème des quaternions est que ab différent de ba.

Les complexes ne servent pas qu'à la géométrie. Ils ont indispensables à l'électricité, à l'étude des systèmes (comme les asservissements, qui se décrivent par la transformée de Laplace, éminemment complexe), les fonctions harmoniques et les transformations conformes (très utiles en électromagnétisme), la tranformée de Fourier etc. De nombreuses équations différentielles ne se traitent bien que dans les complexes.
Les fonctions de variable complexe sont aussi très utiles (fonctions analytiques etc). A l'origine "historique", on peut noter que dans le corps des complexes, un polynôme de degré N s'annulle N fois (en comptant la multiplicité) des zéros. Cela rejoint la question initiale.
Et j'en oublie....

Je crois que, contrairement à ce que dit soliris, j'ai donné une réponse complète dans mon premier post. Comme je l'ai dit, c'est l'une des façons de construire les nombres complexes. Elle est tout à fait rigoureuse. Mais faire le saut des réels aux complexes est un saut conceptuel qui n'est pas évident et qui demande de la pratique, à moins de tout admettre en bloc sans se poser trop de questions: à tout bien réfléchir, on pourrait se demander ce qu'est un nombre réel, ce n'est pas si trivial que cela. C'est cette difficulté conceptuelle qui peut faire croire qu'il n'y a pas de réponse. La réponse n'est pas simple, et il n'y a pas toujours de réponse simple, même si la question l'est.

Je n'ai pas compris le rapport avec les vitesses: il n'y a pas de problème de racine carrée, que ce soit en relativité galiléenne, restreinte ou générale. On change le signe de la vitesse, c'est tout.
La question que l'on peut se poser vis à vis de la relativité porte sur les vitesses supraluminiques, où l'on est confronté à des racines carrées de nombres négatifs pour des calculs d'énergie. La question est de savoir su une vitesse supérieure (mais non égale) à la vitesse de la lumière peut exister.Il y a eu des études là dessus comme les tachyons, mais cela conduisait à des choses très "tarabiscotées" pour ne pas dire plus (il me semble toutefois que les tachyons réapparaissent dans certaines théories des cordes). Mais c'est la un problème de physique, et il n'y a aucun blocage dû aux mathématiques.

Pour conclure, je dirais que les nombres complexes sont un outil usuel et banalisé, mais très efficace, du mathématicien, du physicien et de l'ingénieur, et qu'il vaut la peine d'être maîtrisé.

Amicalement

JM

[inviteab2b41c6]

C'est idiot de dire que les complexes n'existent pas, et que les réels existent...

Les complexes existent autant que les réels, ni plus ni moins.
Dans la nature ou dans les concepts.
La preuve, s'ils n'existaient pas on en parlerait pas....

[invite6d8e4836]

Je suis bien d'accord avec Quinto.

Il me vient une autre remarque: on représente les complexes de manière géométrique, certes, mais, personnellement, je n'ai jamais traité un seul problème de géométrie par les complexes, au contraire de problèmes d'analyse ou d'algèbre, et pourtant j'ai dû en traiter pas mal de tout poil.
Mais ceci est une expérience personnelle.

JM

[invite17446a8a]

La representation geometrique des complexes est tres utile.
exemple : calculer la partie réelle et la partie imaginaire de

(1/2-i*rac(3)/2)/((rac(3)/2)-i/2)
chacun pourra trouver la représentation géometrique du
numérateur et du dénominateur puis faire le calcul.
Il est plus compliqué de multiplier par le conjugué puis de simplifier.

Quant aux problemes de geometrie, leur representation sert notamment pour les rotations, les similitudes (on parle d'affixe z
en se placant dans un repere orthonormé (O,u,v))...

[invite1f2b8183]

Tu exageres mon pote avec ton oulala, l'idée meme de base des nombres complexes est surtout geometriques.
T'es en quel niveau?

oulala ça ne sert pas du tout "surtout en géométrie".
ça sert absolument partout. s'il est curieux à ce point, c'est qu'il compte faire des sciences. c'est clair qu'on lui expliquera bien assez tôt, mais bon.

mais les complexes servent vraiment vraiment partout, c'est finalement assez "réel"

[inviteab2b41c6]

Non certainement pas, les nombres complexes ont été introduit de manière à résoudre toutes les équations algébrique du 3e degré.
Leur utilisation est hyper importante en analyse et sans eux on ne saurait pas faire grand chose, meme pas trouver toutes les solutions d'une équation du 2nd degré ou d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants du second ordre, ou résoudre des problèmes élémentaires d'éléctrodynamique ou d'optique....

Bref les complexes servent partout et surement pas surtout en géométrie...

[invite292264d5]

Bonjour,

Je prends le fil sur cette question, peut être un peu tard par rapport à la discussion...
Je voudrais savoir si mon raisonnement est juste, et s'il rejoint les démos sur les imaginaires, que j'ai employé en tant qu électricien: Si nous plaçons un nombre négatif sur l'abcisse des nombres, nous sommes du côté vers - l'infini. Nous pouvons "imaginer" que sa racine carré dans cet espace, nous fournira un nombre qui sera plus proche du zéro, comme le serait la racine carré d'un nombre positif placé du côté vers + l'infini. Pour un même nombre en valeur absolue, nous aurions la même valeur de racine avec le signe - s'il est négatif, et le signe + s'il est positif!
Le pb c'est que l'on déroge à la règle algébrique que pour une même racine qu'elle soit négative ou positive, son carré est tjs + ... Mais à mon avis c'est par ce que j'ai oublié ma science des imaginaires, puisque pour passer de l'espace des nombres + aux nbres - sur mon axe, il suffit que je fasse le produit de mon nombre + par - 1! Que quelqu'un me remette sur la voie ou me démente!!!
Merci.
JCG

[invitebb921944]

Nous pouvons "imaginer" que sa racine carré dans cet espace, nous fournira un nombre qui sera plus proche du zéro, comme le serait la racine carré d'un nombre positif placé du côté vers + l'infini. Pour un même nombre en valeur absolue, nous aurions la même valeur de racine avec le signe - s'il est négatif, et le signe + s'il est positif!

On ne peut pas comparer un réel et un complexe.

De plus, la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas, on peut au mieux trouver une solution à l'équation z²=-1 en utilisant les complexes mais on introduit pas la fonction racine carrée là dedans.

[invite14323a48]

Bonjour,

Je suis effectivement moi aussi confrontée au même probléme que Charles67 ... sauf que je viens d'entrer en 2nd et, malgrè avoir déjà entendu parler des nombres réels, complexes, imaginaires, ... cela ne m'aide pas beaucoup
Pour faire simple, j'aimerais savoir si, par exemple -6^2 est possible ?

Merci de répondre cela m'aiderait beaucoup.

Johanne.

[inviteaf1870ed]

Pour faire simple : on a "inventé" un nombre que l'on a appelé i, tel que i²=-1. Comme ce n'est pas un nombre réel on l'appelle imaginaire, et on le représente sur un axe vertical (si les réels sont sur un axe horizontal).

Alors l'ensemble des nombres complexes est l'ensemble des nombres de la forme z=a+ib, où a et b sont réels. On peut donc représenter les complexes sur un plan. Dans le cas du z ci dessus, a sera l'abscisse et b l'ordonnée.

Je te laisse voir que la multiplication chez les complexes obéit à des règles un peu particulières : le produit de z=a+ib par z'=a'+ib' N'EST PAS aa'+ibb' !

Une dernière chose : chez les réels on peut dire que l'un est plus grand que l'autre, et on a des réels positifs et des réels négatifs. Chez les complexes ce n'est plus possible simplement (comment comparer 1 et i ?).

Or la racine carrée chez les réels est définie comme l'unique solution positive de l'équation X²=a.

On ne peut plus reprendre cette définition chez les complexes, et on a donc 2 solutions à l'équation X²=a, que l'on ne peut appeler racine carrée, puisqu'on ne sait pas les comparer. On préfère donc en général ne pas parler de racine carrée, car cela deviendrait trop compliqué.

[invitea0b22930]

Pour une récapitulation des constructions successives des ensembles de nombres:
Ensembles de nombres

[invite14323a48]

Vous trouverez cela peut être dépassé pour votre niveau, ou votre âge mais je vous conseille le hors-série Science et Vie Junior sur les nombres, où tout un article est consacré au différentes "classes" de nombres (réels, complexes, ...) très bien expliqué par ailleurs.


Ps: oubliez ma question c'était H-S je n'avais pas encore vraiment tout compris

[inviteefe4fa08]

Pour faire le plus simple que possible un nombre complexe est un peut comme un vecteur. j ou i est une rotation de 90 degré de l'axe des reels donc il se retrouve sur l'axe des y à la place des x.