Matrices de passage

[invite191bf22b]

Bonjour,

il y a quelque chose qui m'échape dans la terminologie de "matrice de passage".

Dans tous les bouquins, on peut lire qu'une matrice de passage d'une base B à une base B' s'écrit avec en colonne les vecteurs de la nouvelle base (B') exprimés dans l'ancienne base (B).

Poutant! prenons un exemple:

Soit donc dans ces conventions la "matrice permettant de passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques":

[ cos theta -sin theta 0 ]
[ sin theta cos theta 0 ]
[ 0 0 1 ]

si je multiplie cette matrice par le vecteur (colonne) [1;0;0]
j'obtiens [cos theta; sin theta; 0] c'est à dire l'expresion du premier vecteur de base en coordonnées cartésiennes.

J'avais donc un vecteur en coordonnées cylindrique, ca me l'a transformé en coordonnées cartésiennes. J'ai pris un exemple sur un vecteru de la base mais on peut montrer que c'est vrai pour tout vecteur. Ca permet donc de passer de la base cylindrique à la base cartésienne... et c'est la matrice inverse (ici la transposée) qui permet de passer de la base cartésienne à la base cylindrique.

Pouvez vous m'éclairer?

Merci de vos réponses
Julien
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[invitebb921944]

Salut !
http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_de_passage
On a X=PX' où P est la matrice de passage de B à B'
D'ailleurs tu as oublié le rayon dans ton changement de base.

[invitec053041c]

Bonjour.
Si P est la matrice de passage de la base B à la base B', tu as juste la relation (pas très naturelle certes) :
X=PX' si X et X' sont les coordonnées d'un vecteur dans chacune des bases B et B'.
On aurait tendance à écrire X'=PX, ce qui n'est pas le cas...

EDIT: grillé par Ganash

[invite191bf22b]

Merci, c'est bien ce que je pensait, le terme matrice de passage de machin à truc n'est qu'un nom et il n'est pas celui auquel on pourait penser à priori.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Merci, c'est bien ce que je pensait, le terme matrice de passage de machin à truc n'est qu'un nom et il n'est pas celui auquel on pourait penser à priori.

Oui, malheureusement . Disons que le fait de mettre en colonne les nouveaux vecteurs dans l'ancienne base est plutôt naturelle, mais le X=PX' ne l'est pas. Il fallait bien trancher entre les deux.

[invite58a61433]

Si P est la matrice de passage de la base B à la base B', tu as juste la relation (pas très naturelle certes) :
X=PX' si X et X' sont les coordonnées d'un vecteur dans chacune des bases B et B'.
On aurait tendance à écrire X'=PX, ce qui n'est pas le cas...

Merci pour la révélation !!

[invite35452583]

Dans tous les bouquins, on peut lire qu'une matrice de passage d'une base B à une base B' s'écrit avec en colonne les vecteurs de la nouvelle base (B') exprimés dans l'ancienne base (B).

Poutant! prenons un exemple:

Soit donc dans ces conventions la "matrice permettant de passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques":

Il n'existe pas de matrice permettant cela. Les coordonnées cylindriques n'est pas un mode de représentation dans une base. L'expression que tu donnes dans la suite et la matrice est un changement de coordonnées cartésiennes exprimées dans une base en des coordonnées cartésiennes exprimées dans une autre base.
Des coordonnées sont la donnée de trois réels dont un est défini modulo 2pi étant un angle. Des coordonnées dans une base sont la donnée de trois réels (x,y,z) tels que (x,y,z) distinct de (x',y',z') implique que les points correspondants sont nécessairement distincts.
Dans l'espace, comme dans le plan ou tout espace vectoriel ou affine, il existe diverses manières de représenter les points ou les vecteurs (coordonnées dans une base, cartésiennes si cette base a les bonnes propriétés, cylindriques, sphériques, barycentriques, repérage par distance à des points...). On sait passer d'un mode de représentation à une autre mais le passage par matrice concerne les changements de repère (ou de base) mais cela reste dans le même mode de représentation (coordonnées dans une base).
Les coordonnées cylindriques sont exprimées dans un repère cylindrique càd la donnée d'une origine et de deux vecteurs orthogonaux généralement unitaires h, v. Un point M étant repéré en le projetant orthogonalement d'une part sur l'axe (O,v) ce qui donnera la hauteur et en le projetant orthogonalement en M' sur le plan passant par O et orthogonal à v, ce qui permet la donnée d'un rayon et d'un angle calculé à partir de h, par v.OM=llvll.llOmll cos(a) dét(v,OM)=llvll.llOMllcos(a)). Il existe d'autres manières, voisines, de définir les coordonnées cylindriques.
On peut passer des coordonnées à des coordonnées dans une base mais cela ne fait pas par une matrice car ce passage n'est notamment non linéaire : les fonctions trigonométriques vont intervenir.
Les matrices vont intervenir si on cherche à passer des coordonnées cylindriques exprimées dans (h,v) dans une base (a,b,c) où a,b,c sont distincts de h et v, en exprimant d'abord dans (v,v',h) où v' est orthogonal à v et h, en imposant généralement que (v,v',h) soit direct, on a donc une représentation en mode coordonnées dans une base et on peut alors utilser une matrice de passage pour passer aux coordonnées de même type, càd coordonnées dans une base mais dan une autre base. Mais on ne passe pas directement des coordonnées cylidriques à des coordonnées cartésiennes par matrice.

En espérant ne pas avoir été trop confus.

[invitea5f2f5f5]

Bonjour,

Enfait c'est tordu, mais après avoir galéré sur le sujet je me suis rendu compte que ce n'était pas qu'un nom :

Si P est la matrice de passage de la base à la base , tu as juste la relation (pas très naturelle certes) :
X=PX' si X et X' sont les coordonnées d'un vecteur dans chacune des bases B et B'.
On aurait tendance à écrire X'=PX, ce qui n'est pas le cas...

En fait la matrice de passage de la base à la base transforme linéairement les vecteurs de la base en ceux de la base.
Par exemple, prenons les vecteurs d'une base orthonormée en coordonnées cartésiennes :
Les vecteurs d'une base orthonormée en coordonnées polaire s'écrit : .
Si on cherche a exprimer dans on a .

En effet la matrice qui transforme en est :


Car


Si on cherche a exprimer dans on a .
En effet la matrice qui transforme en est :


Car


Si on cherche maintenant à déterminer d'un seul coup où va atterrir la base dont les coordonnées sont exprimés dans après la transformation linéaire encodée par la matrice de passage de à :



Par conséquent la matrice de passage d'une base à
permet de transformer linéairement la base en celle de le tout exprimé depuis la base .
Par conséquent un vecteur exprimé dans est exprimable dans le langage de en multipliant ses composantes par les vecteurs de transformée, puisque ces vecteurs transformés sont fondamentalement égaux à ceux de la base , sauf que cette fois-ci les composantes seront agréablement exprimé dans la base

Comme le dis 3-Blue-1-Brown dans ses vidéos, la matrice de passage de à transforme linéairement la base en , mais permet d'exprimer le langage de en celui de