bonjour à tous !
j'aurais une petite question concernant un probleme sur les matrices. Si quelqu'un pouvait m'aider..
A = ( 1 1 0 1 )
( 0 1 0 1 )
( 0 0 2 0 )
( 0 0 0 2 )
1. A est -elle diagonisable ?
( je pense savoir la démarche mais je n'ai pas la réponse)
2. Trouver DELTA diagonsable et N nilpotente telles que A = DELTA + N et DELTA N = N DELTA
( Je comprend pas du tout cette dernière question, je vois pas comment on trouve N et DELTA)
Ton polynôme caractéristique est det(M-lambda*I4)=(1-lambda)²(2-lambda)²
Or, l'espace propre associé à la valeur propre 1 est de dimension 1, alors qu'il doit être de dimension 2 pour que la matrice soit diagonalisable.
(c'était pour la question 1)
Salut,
Pour la première question, comment t'y prendrais-tu ?
EDIT : bon Ledescat a répondu...
Pour la suite, pose-toi la question suivante : quelles propriétés vérifient les matrices nilpotentes ? D'où pourrait sortir la matrice diagonale ?
EDIT bis : pour la culture, ceci s'appelle la décomposition de Dunford.
Ah tiens je ne connaissais pas !Envoyé par Gwyddon
Je suis désolé d'avoir répondu. Disons qu'en fait, n'ayant pas fait vraiment le chapitre, je comptais mettre ce raisonnement pour vérifier qu'il était le bon.
Juste comme ça:
Cette décomposition ne marche que pour les matrices triangulaires non? Enfin je m'avance trop vite sûrement, mais pour une matrice triangulaire le résultat (M+N) est immédiat alors c'est pour cela que je le demande
Salut,Juste comme ça:
Cette décomposition ne marche que pour les matrices triangulaires non? Enfin je m'avance trop vite sûrement, mais pour une matrice triangulaire le résultat (M+N) est immédiat alors c'est pour cela que je le demande
En fait tu apprendras un jour que n'importe quelle matrice est équivalente à une matrice avec des blocs de Jordan (cf wiki) lorsqu'on est sur un corps algébriquement clos (disons C pour fixer les idées).
NB : La mise sous forme bloc de Jordan est beaucoup plus dure que la décomposition de Dunford, c'est clair, mais c'est la réduction la plus aboutie de bien des points de vue.
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rvz
Salut,
Ça marche pour les matrices trigonalisables. Et attention, les matrices à chercher ici ne sont pas si triviales que ça
D'accord, merci pour toutes ces précisions.
Le fait que N soit nilpotente et DN=ND nous informe sur la possibilité de l'utilisation du binôme de Newton j'imagine.
Exactement, ça permet notamment de calculer des exponentielles de matrices 'à la main' quand la matrice n'est pas diagonalisable puisque A = d+n avec d et n qui commutent, et par exemple, n^3 = 0 permettent de calculer explicitement A^p en trois coup de cuillère à pot.
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rvz
Edit : Si d et n commutent, exp(A) = exp(d)exp(n), mais exp(d) et exp(n) sont de facto faciles à calculer.
Ah oui je suis bête, je me voyais déjà calculer des A^p avec le binôme, puis faire la somme des A^p/p! en espérant trouver des coefficients pas trop méchants.Mais en passant par exp(d) et exp(n), ça se fera en effet mieux...
Ca va me faire ma soirée
Merci beaucoup.
