Q, R, densité, paradoxe ?

[invitec053041c]

D'accord, merci beaucoup Médiat.
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[invitec053041c]

Bonsoir.

Est-ce que le produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est dénombrable ? J'imagine que oui mais on ne sait jamais.

Merci.

[invitec053041c]

En fait wiki m'a confirmé ce que je pensais .

[erik]

Ce n'est pas raisonnable de se poser ce genre de question à 00h59, après on dort mal si on n'a pas la réponse.

La reponse est oui.

bonne nuit

(il te reste à écrire la démo )

[invitec053041c]

il te reste à écrire la démo

Là ça n'est pas du tout raisonnable , je viens juste de montrer qur IR comme IQ-ev est de dimension infinie , heureusement que ça prend 3 lignes, sinon je serais en train de dormir sur mon bureau...

[Médiat]

Est-ce que le produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est dénombrable ? J'imagine que oui mais on ne sait jamais.

Bien que tu aies la réponse, quelques précisions :

1) ce que tu demandes s'écrit .
2) c'est très facile à démontrer (le le dis en français, "compter les éléments d'un ensemble" voulant dire : établir une bijection entre et cet ensemble) : tu comptes le premier élément de chacun des n éléments (les images de 0 dans chaque ensemble), puis tu recommences (tu comptes les images de 1, puis les images de 2, etc...)

[Médiat]

Oulah-lah, je ne suis pas vaiment opérationnel (ou vraiment pas) avant le petit déjeuner : ma démonstration facile est un paquet de con*ies.
Pour me faire pardonner, en voila 2 :
Je vais faire la démonstration pour (sinon il suffit d'invoquer une bijection avec .

1) on compte tous les n-uplets dont le total est égal à 0 (il n'y en a qu'un), puis ceux dont le total est 1 (il y en a n) etc. et hop : une bijection

2) soit le i-ième nombre premier, au n-uplet on fait correspondre , il est facile de montrer que c'est une injection, pour trouver une surjection, je te laisse faire

[invitec053041c]

Merci Médiat !
J'aime bien la première manière de le montrer .
J'ai en effet vu dans le wiki quelques propriétés, comme:


etc...

Ce qui m'intrigue, c'est que la définition de E dénomrable est: il existe une bijection entre IN et E. Ok pour les cardinaux infinis...Mais wiki rajoute qu'un ensemble dénombrable est infini, bon.
Alors {1,2,3} n'est pas dénombrable ?
C'est pour ça que j'aurais plus parlé d'existence de surjection de IN sur E (comme je l'ai lu dans une thèse récemment postée ici).


Amicalement.

[Médiat]

Alors {1,2,3} n'est pas dénombrable ?

Non, il est fini

C'est pour ça que j'aurais plus parlé d'existence de surjection de IN sur E (comme je l'ai lu dans une thèse récemment postée ici).

La surjection de IN sur E assure que E est au plus dénombrable.
On doit pouvoir mettre cela sur le compte de l'abus de langage plus que de l'erreur.

[invitec053041c]

Non, il est fini

La surjection de IN sur E assure que E est au plus dénombrable.
On doit pouvoir mettre cela sur le compte de l'abus de langage plus que de l'erreur.

D'accord, c'est clair maintenant, merci.

Bon, je vais aller prendre mon petit déjeuner () car je sens que je suis sur le point critique de poster des réponses inutiles .