Q, R, densité, paradoxe ?

[Médiat]

Le post de Romains-des-bois m'a fait penser à cette question :





Et pourtant .

Tout cela est-il bien normal ?
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[invitec053041c]

Le post de Romains-des-bois m'a fait penser à cette question :

Mais selon le cas il en existe une quantité dénombrable ou indénombrable, mais je ne pense pas que ça réponde à la question...

[Médiat]

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Mais selon le cas il en existe une quantité dénombrable ou indénombrable, mais je ne pense pas que ça réponde à la question...

C'est bien là que se situe "le truc"

[invitec053041c]

D'accord .

Sinon, je profite de ce post pour demander comment montrer l'indénombrabilité de IR ? Si cela n'est pas trop long bien-sûr.
Merci à vous .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Sinon je pense à un autre "paradoxe" du même style dont je n'ai pas la réponse:

IQ est dénombrable, donc card(IQ)=card(IN)

Seulement, entre deux entiers, il existe une infinité de rationnels !

 Cliquez pour afficher

La réponse doit résider dans la notion d'infinis, mais je ne suis pas assez calé pour y répondre .

EDIT: et en vrac (décidemment ça m'inspire),la relation £ :A£B ,A est dense dans B, est-elle une relation d'ordre ?

[Médiat]

Sinon, je profite de ce post pour demander comment montrer l'indénombrabilité de IR ? Si cela n'est pas trop long bien-sûr.

Pense à la numération en base 2 des nombres réels entre 0 et 1, et aux parties de IN... Je te laisse trouver, c'est là qu'est le vrai plaisir

[Médiat]

IQ est dénombrable, donc card(IQ)=card(IN)

Seulement, entre deux entiers, il existe une infinité de rationnels !

 Cliquez pour afficher

Dans le cas et , le truc vient de ce que , dans le cas et ,

[invite71e36490]

EDIT: et en vrac (décidemment ça m'inspire),la relation £ :A£B ,A est dense dans B, est-elle une relation d'ordre ?

La preuve que non : Q est dense dans R et R est évidemment dense dans Q. Or Q est différent de R, la relation n'est pas antisymétrique, c'est pas une relation d'ordre.

[Médiat]

EDIT: et en vrac (décidemment ça m'inspire),la relation £ :A£B ,A est dense dans B, est-elle une relation d'ordre ?

Dans la mesure où "A est dense dans B" implique que "A est inclus dans B" et que l'inclusion est une relation d'ordre ... disons qu'il y a de forte chance, (il reste la transitivité, un contre exemple doit être plutôt sympa )

[Médiat]

La preuve que non : Q est dense dans R et R est évidemment dense dans Q.

cf. ma réponse, "A est dense dans B" n'a de sens que si "A inclus dans B"

[invitec053041c]

Merci pour tes réponses Médiat !
Seulement je n'ai pas vu les ordinaux (si je ne m'abuse ), donc ce n'était pas de mon niveau comme je l'avais prévu.
Je n'ai jamais vu la numération des nombres compris entre 0 et 1 en base 2.
Serait-ce avec une décomposition de ce type :
avec

Ou bien suis-je complètement à côté de la plaque ?

Q est dense dans R et R est évidemment dense dans Q. Or Q est différent de R, la relation n'est pas antisymétrique, c'est pas une relation d'ordre.

Il me semble que A£B a besoin de la condition AcB au préalable.

edit: grillé pour la dernière partie de mon message .

[invite71e36490]

cf. ma réponse, "A est dense dans B" n'a de sens que si "A inclus dans B"

Ouups héhé j'oubliais

Dans la mesure où "A est dense dans B" implique que "A est inclus dans B" et que l'inclusion est une relation d'ordre ... disons qu'il y a de forte chance, (il reste la transitivité, un contre exemple doit être plutôt sympa )

Ben dans ce cas, ca va. On suppose A dense dans B et B dense dans C.
Soit Par hypothèse on a Comme on a aussi on peut encore écrire . On prend alors a dans A entre et et c'est fini.

Ou alors je dis que des bêtises aujourd'hui.

Edit : Il faut que les relations d'ordre "<" de l'hypothèse soient les mêmes, sinon j'imagine que c'est pas aussi gentil...

[invitec053041c]

Ben dans ce cas, ca va. On suppose A dense dans B et B dense dans C.
Soit Par hypothèse on a Comme on a aussi on peut encore écrire . On prend alors a dans A entre et et c'est fini.

Oui,c'est ce que j'aurais fait Osceola, mais vu que Médiat parlait de joli contre-exemple, ça m'intriguait .

[Médiat]

Seulement je n'ai pas vu les ordinaux (si je ne m'abuse )

Il s'agit plutôt de cardinaux (pas si compliqué que cela)

Je n'ai jamais vu la numération des nombres compris entre 0 et 1 en base 2.
Serait-ce avec une décomposition de ce type :
avec

C'est bien parti ...

[Médiat]

Oui,c'est ce que j'aurais fait Osceola, mais vu que Médiat parlait de joli contre-exemple, ça m'intriguait .

J'ai répondu très vite, il me semblait qu'intuitivement cela devait être vrai et que s'il y avait un contre exemple il serait vraiment tordu (et pour cause )

[Médiat]

Ben dans ce cas, ca va. On suppose A dense dans B et B dense dans C.
[...]
Edit : Il faut que les relations d'ordre "<" de l'hypothèse soient les mêmes, sinon j'imagine que c'est pas aussi gentil...

En fait il faudrait faire une démonstration plus générale :



et conclure...

Bien sur il faut que la topologie sur chacun des sous-ensembles soit celle du plus grand induite sur eux

[invitec053041c]

D'accord .
Le problème est la réflexivité...A n'est pas nécéssairement dense dans A (cf IN), à moins que les inégalités puissent être larges?

Bon je réfléchis pour l'indénombrabilité .


EDIT: en fait, à vue de nez, le cardinal de l'ensemble des nombres compris entre 0 et 1 serait celui de l'ensemble des parties de IN, qui n'est pas dénombrable. Mais c'est juste un petit feeling comme ça .

[Médiat]

Le problème est la réflexivité...A n'est pas nécéssairement dense dans A (cf IN), à moins que les inégalités puissent être larges?

IN est dense dans IN, pas de problème

EDIT: en fait, à vue de nez, le cardinal de l'ensemble des nombres compris entre 0 et 1 serait celui de l'ensemble des parties de IN, qui n'est pas dénombrable. Mais c'est juste un petit feeling comme ça .

Bon nez ... indice : te casse pas la tête, c'est assez simple, c'est même une caractéristique de ce problème

[invitec053041c]

Oui, on peut montrer que tout réel de [0;1] a une décomposition unique (que j'ai donnée) regroupée dans la liste infinie
qui est précisément la caractérisation de l'ensemble des parties de IN [non dénombrable]. Pour la preuve de ceci, j'ai vu que c'était le théorème de Cantor qui pouvait s'y appliquer, mais je ne me suis pas risqué à la comprendre .

EDIT: IN dense dans IN? Il n'existe pas d'entier strictement compris entre 1 et 2, c'est pour cela que je pensais qu'on avait droit aux inégalités larges. Enfin si tu me le dis je te crois !

[invitec053041c]

mais je ne me suis pas risqué à la comprendre .

la démonstration du théorème de cantor en fait .

[Médiat]

la démonstration du théorème de cantor en fait .

Pas si compliqué que cela, regarde là : http://forums.futura-sciences.com/sh....php?p=1150873 et le message suivant (et même tout le fil ).

[Médiat]

IN dense dans IN? Il n'existe pas d'entier strictement compris entre 1 et 2, c'est pour cela que je pensais qu'on avait droit aux inégalités larges. Enfin si tu me le dis je te crois !

Tout voisinage d'un entier contient un entier (et c'est généralisable )

[invitec053041c]

Pas si compliqué que cela, regarde là : http://forums.futura-sciences.com/sh....php?p=1150873 et le message suivant (et même tout le fil ).

Ah oui en effet !

Tout voisinage d'un entier contient un entier (et c'est généralisable )

Certes .

Sinon, pour l'indénombrabilité de [0;1] donc de IR c'est bon ?

Merci pour cette attention particulière Médiat .

[erik]

Sinon, je profite de ce post pour demander comment montrer l'indénombrabilité de IR ? Si cela n'est pas trop long bien-sûr.

Salut,

fais une recherche sur le net avec comme mots clé "diagonale de Cantor".
Tu trouveras une démo courte, simple et élégante de l'indénombrabilité de IR.

Par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/Argumen...nale_de_Cantor

[Médiat]

Sinon, pour l'indénombrabilité de [0;1] donc de IR c'est bon ?

Oui, tu as démontré qu'il y avait une bijection entre [0; 1[ et l'ensemble des parties de , (d'ailleurs sous la forme et par le théorème de Cantor son cardinal est strictement plus grand que celui de

Merci pour cette attention particulière Médiat

Un plaisir

[invitec053041c]

Merci erik.
Sinon, cela revient au même résultat, mais ça n'est pas plutôt une bijection de [0;2] dans 2^IN?
Car (1,1,1...)=2 si je ne m'abuse.


EDIT: c'est bon j'ai rien dit, ma somme commence à k=1 . Sinon pourquoi [0;1[ exclu? 1=(1,1,1...) non ?

[invitec053041c]

Je viens de regarder la diagonale de Cantor, et je ne comprend pas pourquoi on ne cherche pas des suties de nombres plus simples...

Si on prend F=(r1,r2,r3...) une liste infinie de valeurs de [0;1[ avec:
r1=0,1
r2=0,01
r3=0,001
...

Cette liste est en bijection avec IN, donc dénombrable.
Or ,à tout hasard, 0,5 appartient aussi à [0;1] mais pas à F. Donc on en déduit directement que [0;1] n'est pas dénombrable.
Ca marche aussi ?

[erik]

Ca marche aussi ?

Non, là tu fais une erreur de raisonnement : tu construis une suite de réels appartenant à [0,1[, mais il est évident (par construction) que tu exclus certain réel. Cela ne prouve rien.

Ce que tu montres c'est : "en partant d'un ensemble infini (dénombrable ou non dénombrable) je peux en extraire une suite (c'est à dire un ensemble dénombrable), mais ça ne te dit rien sur la dénombrabilité ou la non dénombrabilité de l'ensemble de départ.

L'idée de la diagonale de Cantor est la suivante :
1/ Je suppose que [0,1[ est dénombrable : donc je peux énumérer tout ses éléments (c'est à dire construire une suite telle que tout les élément de [0,1[ apparaissent dans la suite)

2/ On suppose que l'on a construit un telle suite Un

3/ Je construis maitenant un réel z tel que sa première décimale soit différente de la première décimale de U0, sa deuxième décimale soit différente de la deuxième décimale de U1, ..., sa nième décimale soit différente de Un ...

4/ Je conclus que ce nombre n'appartient pas à la suite Un (puisque quelque soit j, z est différent de Uj, puisque la jième dec. de z est différente de la jième dec. de Uj)

5/ Il y'a une contradiction : Un devait contenir tout les nombres contenu dans [0,1[ et on vient d'en construire un qui n'appartient pas à Un, donc l'hypothèse de départ est fausse (le point 1/) : [0,1[ n'est pas dénombrable

[invitec053041c]

Non, là tu fais une erreur de raisonnement : tu construis une suite de réels appartenant à [0,1[, mais il est évident (par construction) que tu exclus certain réel. Cela ne prouve rien.

Ce que tu montres c'est : "en partant d'un ensemble infini (dénombrable ou non dénombrable) je peux en extraire une suite (c'est à dire un ensemble dénombrable), mais ça ne te dit rien sur la dénombrabilité ou la non dénombrabilité de l'ensemble de départ.

L'idée de la diagonale de Cantor est la suivante :
1/ Je suppose que [0,1[ est dénombrable : donc je peux énumérer tout ses éléments (c'est à dire construire une suite telle que tout les élément de [0,1[ apparaissent dans la suite)

2/ On suppose que l'on a construit un telle suite Un

3/ Je construis maitenant un réel z tel que sa première décimale soit différente de la première décimale de U0, sa deuxième décimale soit différente de la deuxième décimale de U1, ..., sa nième décimale soit différente de Un ...

4/ Je conclus que ce nombre n'appartient pas à la suite Un (puisque quelque soit j, z est différent de Uj, puisque la jième dec. de z est différente de la jième dec. de Uj)

5/ Il y'a une contradiction : Un devait contenir tout les nombres contenu dans [0,1[ et on vient d'en construire un qui n'appartient pas à Un, donc l'hypothèse de départ est fausse (le point 1/) : [0,1[ n'est pas dénombrable

D'accord ok! J'ai compris cette méthode.
Je vois bien qu'il y a quelque chose de très louche dans ma démonstration, mais je ne saurais dire quoi...
Je trouve dans [0,1[ une liste de même cardinal que IN, et pourtant je n'ai pas pris tout le monde.
Mais en y réfléchissant, avec ça, on montre que IZ n'es pas dénombrable non plus . Alala ces infinis...

[Médiat]

c'est bon j'ai rien dit, ma somme commence à k=1 . Sinon pourquoi [0;1[ exclu? 1=(1,1,1...) non ?

En fait, pour être vraiment correct, il faudrait exclure toutes les suites qui se terminent par une infinité de 1, mais comme elles sont en nombres dénombrables, cela ne change rien au résultat.