Problème - Enigme ... Trop dur :(

[invitedf667161]

Moi j'aurias bien employé le théorème de Fermat (le petit)...
En effet, pour tout NP p différent de 2 et 5, pgcd(p,10) = 1.
Donc 10^(p-1) = 1 mod p, ou encore p | 10^(p-1) - 1 = 999..9

Sinon mmy, je ne vois pas où tu veux aller. D'accord il y aura deux i tels que 10^i aient la même valeur modulo p, mais pourquoi serait-ce 1 ?

Un peu pareil que ce que je disais.

Dans Z/pZ\{0}, qui est un groupe multiplicatif de cardinal p-1, 10 a un certain ordre, disons i.

Alors 10^i = 1 [p] et c'est fini par Lagrange.
D'ailleurs le plus petit i qui vérifie cette propriété divise p-1.
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[invitefbf60e5e]

Ce n'est pas ce que dit mmy, par contre si 10^i et 10^j sont congrus modulo p, que peut-on dire de 10^j-i modulo p (en supposant j>i)

Il sera également congru à 10^i modulo p ?

[invited04d42cd]

Bah la classqiue avec les factorielles.
Enfin ce n'est pas une démo de fermat que tu viens de donner : on a juste l'existence de i, pas le fait que p-1 marche, ca demande un peu plus de boulot nan ?

[invité576543]

Enfin ce n'est pas une démo de fermat que tu viens de donner : on a juste l'existence de i, pas le fait que p-1 marche, ca demande un peu plus de boulot nan ?

Un poil plus, guère, juste le théorème de théorie des groupes qui dit que l'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe, un théorème dont la démo est elle-même simple pour les groupes finis.

Cordialement,

[Médiat]

Il sera également congru à 10^i modulo p ?

Non, non : 10^i.10^j-i = 10^j

[invitefbf60e5e]

mmy, je ne peux toujours pas conclure avec ta méthode, je vois toujours pas où tu veux en venir.

Merci pour ton aide.

[invité576543]

mmy, je ne peux toujours pas conclure avec ta méthode, je vois toujours pas où tu veux en venir.

Merci pour ton aide.

Il me faut mettre les points sur le i (et les j). Si 10ⁱ(10^j-i-1) est un multiple de p, comme 10 est premier avec p, 10ⁱ l'est aussi et donc (10^j-i-1) est un multiple de p; comme i différent de j, cela conclut, non?

Cordialement,

[invitedf667161]

Je crois que la méthode de mmy nécessite de comprendre ce que ça veut dire d'être "inversible modulo p". Tu sais ce que ça veut dire ?

[invitefbf60e5e]

Ohhh je crois que j'ai compris. Les deux valeurs égales modulo p 'prouvent' l'existence de ce i et j, et la suite tu viens de l'expliquer c'est bon.
Si e est inversible modulo p c'est qu'il existe un d tel que ed soit congru à 1 modulo p.

[invitefbf60e5e]

Bon sinon, je profite de votre bonté pour un autre problème.
Celui-ci étant de montrer que placer 100 points dans un cercle de rayon R de sorte qu'ils soient tous éloignés de plus de 2R/9 l'un de l'autre est impossible.
En essayant de placer les 100 points sur papier sur des cercles concentriques de rayon R/9, puis 3R/9 puis 5R/9 puis 7R/9 puis R, on doit voir que c'est impossible, mais ce n'est pas vraiment une démonstration.

[invité576543]

Bon sinon, je profite de votre bonté pour un autre problème.
Celui-ci étant de montrer que placer 100 points dans un cercle de rayon R de sorte qu'ils soient tous éloignés de plus de 2R/9 l'un de l'autre est impossible.

disque, plutôt, non?

Cdlt

[invitefbf60e5e]

Sur un disque plutôt oui.

[invitefbf60e5e]

Alors, personne pour celle là ?