Problème - Enigme ... Trop dur :(

[invitefbf60e5e]

Bonjour,

J'essaie de résoudre ce problème, si quelqu'un peut m'aider ...
Il faut démontrer que tout nombre premier autre que 2 et 5 admet un multiple dont tous les chiffres sont composés de neuf ; je vois pas du tout comment m'y prendre. Une piste ?

Merci d'avance.
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[invité576543]

J'essaie de résoudre ce problème, si quelqu'un peut m'aider ...
Il faut démontrer que tout nombre premier autre que 2 et 5 admet un multiple dont tous les chiffres sont composés de neuf ; je vois pas du tout comment m'y prendre. Une piste ?

Il y en a diverses...

Tu peux par exemple réfléchir sur le développement décimal de 1/p.

Ou sur les valeurs de 10ⁱ modulo p.

Cordialement,

[invitedf667161]

Il y en a diverses...

Tu peux par exemple réfléchir sur le développement décimal de 1/p.

Ou sur les valeurs de 10ⁱ modulo p.

Cordialement,

Wahou, j'adore !! Si p n'est ni 2 ni 5, alors 10, c'est pas 0 dans Z/pZ...

[invité576543]

Wahou, j'adore !! Si p n'est ni 2 ni 5, alors 10, c'est pas 0 dans Z/pZ...

J'ai l'impression que c'est de l'ironie, sans la comprendre. Je ne pense pas avoir dit une connerie, mais si tu le penses, peux-tu être plus clair?

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefbf60e5e]

Il y en a diverses...

Tu peux par exemple réfléchir sur le développement décimal de 1/p.

Ou sur les valeurs de 10ⁱ modulo p.

Cordialement,

Hmm ... Je vois pas où tu veux en venir. Le développement décimal de 1/p ?
Et les valeurs de 10ⁱ modulo p ? J'comprends pas vraiment (non pas les termes, mais là où tu veux en venir)

Merci de l'aide.

[invité576543]

Hmm ... Je vois pas où tu veux en venir. Le développement décimal de 1/p ?

Que sais-tu sur le développement décimal d'un rationnel?

Et les valeurs de 10ⁱ modulo p ? J'comprends pas vraiment (non pas les termes, mais là où tu veux en venir)

C'est un peu fait exprès! Fait des tests sur quelques cas simples, 3, 7, 11, 13, ...

Prend les puissances de 10 successives, 10, 100, 1000, 10000, etc. et regarde le reste de la division par le nombre premier. Que constate-t-on?

Et qu'est-ce que ça veut dire quand le reste vaut 1?

Cordialement,

[invitefbf60e5e]

Que sais-tu sur le développement décimal d'un rationnel?

J'en ai jamais entendu parler (j'ai fini ma première année de prépa)

C'est un peu fait exprès! Fait des tests sur quelques cas simples, 3, 7, 11, 13, ...

Prend les puissances de 10 successives, 10, 100, 1000, 10000, etc. et regarde le reste de la division par le nombre premier. Que constate-t-on?

Et qu'est-ce que ça veut dire quand le reste vaut 1?

Cordialement,

Ok, je commence à comprendre ...
Il faut montrer que pour tout nombre premier p il existe un entier i pour lequel 10ⁱ mod p = 1.
Car quand le reste vaut 1, c'est qu'on a bien un multiple qui est égal à 10ⁱ - 1, donc composé uniquement de neufs.
Mais alors comment s'y prendre pour montrer ça ? Je connais pas grand chose sur les nombres premiers.

[invité576543]

Ok, je commence à comprendre ...
Il faut montrer que pour tout nombre premier p il existe un entier i pour lequel 10ⁱ mod p = 1.
Car quand le reste vaut 1, c'est qu'on a bien un multiple qui est égal à 10ⁱ - 1, donc composé uniquement de neufs.
Mais alors comment s'y prendre pour montrer ça ? Je connais pas grand chose sur les nombres premiers.

Combien y-a-t-il de valeurs possibles modulo p?

Que peut-on dire des valeurs de 10ⁱ modulo p pour i dans [0,p]?

Cordialement,

[invitedf667161]

J'ai l'impression que c'est de l'ironie, sans la comprendre. Je ne pense pas avoir dit une connerie, mais si tu le penses, peux-tu être plus clair?

Cordialement,

Ce n'est pas du tout de l'ironie. J'adore vraiment

[invitefbf60e5e]

J'ai fait des petits programmes pour voir un peu ce que ça donnait. Les valeurs des modulos sont périodiques, pour 13 par exemple, c'est 6-périodique, pour 31, c'est 15-périodique, pour 17 c'est 16-périodique, etc.
Le 1 revient souvent, mais comment prouver qu'il est toujours présent dans la liste ?
(sinon pour la question des valeurs possibles de modulo p, yen a p, de 0 à p-1)

[invité576543]

J'ai fait des petits programmes pour voir un peu ce que ça donnait. Les valeurs des modulos sont périodiques, pour 13 par exemple, c'est 6-périodique, pour 31, c'est 15-périodique, pour 17 c'est 16-périodique, etc.

Point intéressant, mais sans relation directe avec le problème: 6 divise 12-1, 15 divise 31-1, 16 divise 17-1...

(sinon pour la question des valeurs possibles de modulo p, yen a p, de 0 à p-1)

Il y en a p.

Et pour l'autre question? Combien y-a-t-il de valeur de 10ⁱ modulo p pour i dans [0,p] ?

Et connais-tu le principe des tiroirs (ou des pigeonniers)?

Cordialement,

[invitefbf60e5e]

Combien y-a-t-il de valeur de 10ⁱ modulo p pour i dans [0,p] ?

Ahh tu demandais combien il y en avait !

7 -> 6
11 -> 2
13 -> 6
17 -> 16
19 -> 18
23 -> 22
29 -> 28
31 -> 15
37 -> 3

Il y a souvent p-1 valeurs mais pas tout le temps. (?)

Et connais-tu le principe des tiroirs (ou des pigeonniers)?

Non

[invitedf667161]

Je me permets de m'insérer.

Tu as étudié les groupes (voire corps) ? Si oui, alors tu peux conclure assez vite.

Sinon, le principe des pigeonniers dit que si tu as p pigeons à mettre dans n pigeonniers, et que si p>n (plus de pigeons que de pigeonniers), alors il y aura forçément un pigeonnier qui contiendra plus d'un pigeon.

[invitefbf60e5e]

Oui j'ai étudié les corps. Je n'arrive pas à conclure pour autant

[invité576543]

Ahh tu demandais combien il y en avait !(...)

J'ai mal posé la question. Ce n'était pas combien il y en a de différentes (ce qui est la réponse que tu as donnée) mais combien il y en avait en tout. La réponse est tout bêtement p+1. Que peut-on en conclure? Dans les résultats que tu as obtenus que peut-on dire de p+1 valeurs successives (de p en fait)?

(L'autre approche cité par Guyem, par les groupes, est aussi possible.)

Cordialement,

[invitefbf60e5e]

On peut dire qu'il y au moins une valeur qui revient deux fois.

[invité576543]

Oui j'ai étudié les corps. Je n'arrive pas à conclure pour autant

C'est une autre piste... Du genre: que penses-tu de l'opération "multiplier par 3 modulo 7" sur l'ensemble des entiers modulo 7 privé de 0?

Cordialement,

[invitefbf60e5e]

3 * 3 = 2 [7]
5 * 3 = 1 [7]
C'est ça ?
J'aurai jamais pensé que la solution de l'énigme aurait besoin de tant de connaissances.
N'empêche que je n'arrive toujours pas à conclure.

[invité576543]

N'empêche que je n'arrive toujours pas à conclure.

Le plus simple doit être la question sur les p valeurs 10⁰ modulo p jusqu'à 10^p modulo p; il y en a p+1, alors qu'il y a p valeurs modulo p distinctes: que peut-on en déduire?

Cordialement,

PS

J'aurai jamais pensé que la solution de l'énigme aurait besoin de tant de connaissances.

On aurait pu te donner la réponse dès le message #2, mais l'intérêt d'un exercice est dans ce qu'on apprend en le résolvant, pas dans sa solution!

[invitefbf60e5e]

On aurait pu te donner la réponse dès le message #2, mais l'intérêt d'un exercice est dans ce qu'on apprend en le résolvant, pas dans sa solution!

Oui je suis tout à fait d'accord.
Comme dit dans mon message d'avant, ça signifie que ya au moins une valeur qui apparait deux fois, non ?

[invitedf667161]

Oui j'ai étudié les corps. Je n'arrive pas à conclure pour autant

Je m'immisce encore : puisque p est premier, Z/pZ est un corps. Du fait que p n'est ni 2, ni 5, alors 10 n'est pas congru à 0 modulo p. En d'autres termes, la classe de 10 est un élément du groupe multiplicatifs Z/pZ \ {0}. De là conclure...

[invitefbf60e5e]

Classe, Z/pZ ... Tout ça ce sont des termes que j'ai déjà entendus mais on étudie ça qu'en deuxième année. Donc pour moi ta phrase n'est pas très claire.

[invité576543]

(Je continue ma piste, entre celle-ci et celle de Guyem, une va peut-être converger )

ça signifie que ya au moins une valeur qui apparait deux fois, non ?

Oui. Ecris ce que cela veut dire, et conclus!

Cordialement,

[invitefbf60e5e]

Oui. Ecris ce que cela veut dire, et conclus!

Je vois pas. Il faudrait pouvoir dire que le 1 apparaît au moins une fois dans les valeurs, mais le principe des tiroirs ne dit pas ça. Il se peut que par exemple le 2 apparaisse plusieurs fois et que le 1 n'apparaisse pas.
(Enfin non, c'est pas possible, mais justement je vois pas pourquoi)

[invited04d42cd]

Moi j'aurias bien employé le théorème de Fermat (le petit)...
En effet, pour tout NP p différent de 2 et 5, pgcd(p,10) = 1.
Donc 10^(p-1) = 1 mod p, ou encore p | 10^(p-1) - 1 = 999..9

Sinon mmy, je ne vois pas où tu veux aller. D'accord il y aura deux i tels que 10^i aient la même valeur modulo p, mais pourquoi serait-ce 1 ?

[Médiat]

Sinon mmy, je ne vois pas où tu veux aller. D'accord il y aura deux i tels que 10^i aient la même valeur modulo p, mais pourquoi serait-ce 1 ?

Ce n'est pas ce que dit mmy, par contre si 10^i et 10^j sont congrus modulo p, que peut-on dire de 10^j-i modulo p (en supposant j>i)

[invité576543]

Sinon mmy, je ne vois pas où tu veux aller. D'accord il y aura deux i tels que 10^i aient la même valeur modulo p, mais pourquoi serait-ce 1 ?

Jamais dit que c'était 1!

10ⁱ=10^j modulo p, avec j >i, cela veut dire quoi pour 10ⁱ(10^j-i-1) ?

Cordialement,

EDIT: Croisement avec Médiat, avec une rare similitude...

[invited04d42cd]

Ok ok Intéressant comme méthode

[invité576543]

Ok ok Intéressant comme méthode

Tu as cité le petit théorème de Fermat. Tu en connais une démonstration plus simple que celle-ci? Ou encore, quelle démonstration t'a-t-on présentée?

Cordialement,

[invitefbf60e5e]

Bein ya la démonstration par récurrence
Moi je suis un peu largué par ta méthode mmy. J'arrive pas à raisonner sur tes corps Z/pZ, j'ai pas vu ça avant.
Je comprends mieux la méthode d'easythomas (merci d'ailleurs) mais j'y aurais jamais pensé.