Equation de plan dans un espace 3D

[invite7eeefd41]

Bonjour tout le monde.

j'ai un problème concernant l'équation du plan passant par 3 points de l'espace 3D.

si quelqu'un peut m'aider s'il vous plait
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[martini_bird]

Salut et bienvenue,

sans précision, je ne peux que t'indiquer la méthode générale : détermine le vecteur normal au plan... et c'est quasiment fini !

Cordialement.

[invite7eeefd41]

Merci Martini_bird de m'avoir répondu et de m'avoir souhaité la bienvenue aussi.

je vais faire ça

[invite7eeefd41]

Bonsoir tout le monde,

je reprends mon problème d'équation du plan auquel je ne trouve toujours pas de solution

je pose la question tel qu'elle a était écrite

soient 3 points de l'espace 3D donnés par

M1 = (2 3 1)

M2 = (-1 2 0)

M3 = (1 -2 7)

Donner l'équation du plan passant par ces 3 points

aidez moi s'il vous plait

[A voir en vidéo sur Futura]

[Calvert]

Salut!

L'idée, comme l'a dit Martini_Bird, est d'abord de trouver un vecteur normal à ce plan. Comme tu as trois points, il est aisé de construire deux vecteurs compris dans ton plan. A partir de ces deux vecteurs, tu as plusieurs options pour trouver un vecteur perpendiculaire au plan. Une est cependant spécialement aisée: il existe en math une opération sur deux vecteurs qui te fournit directement un vecteur normal aux deux autres (ici, peu importe la norme).

Les composante de ce vecteur normal sont les coefficients directeurs du plan (ceux qui multiplient x, y et z). Il ne te reste plus qu'à imposer que ton plan passe par un des trois points, en ajustant la constante (en général notée d?).

[invite7eeefd41]

salut!

je veux résoudre ça en faisant un système d'équations

puisque le plan p comprend A=(2, 3, 1), B=(-1, 2, 0) et C=(1, -2, 7)

2a + 3b + c + d = 0 (1);

-a + 2b + d = 0 (2);

a - 2b + 7c + d = 0 (3)

avec la méthode du pivot

et pour d=49

j'ai trouvé l'équation du plan: (ABC): 9X -20Y -7Z +49 = 0

qui est vérifiée avec les points A, B mais le pas C

[FonKy-]

Bonjour

pour d=49

{a = 11, b = -19, c = -14 }

edit: l'equation du plan que tu trouve a la fin doit forcément verifier le passage en C puisque tu l'a écrit sur la 3e ligne de ton systeme dequation

[invite7eeefd41]

oui, je te remercie Fonky

tu peux m'expliquer comment tu as fait s'il te plait?

est ce que tu as résolu ça avec les équations ou tu t'es servi du produit vectoriel ?

[FonKy-]

oui, je te remercie Fonky

tu peux m'expliquer comment tu as fait s'il te plait?

est ce que tu as résolu ça avec les équations ou tu t'es servi du produit vectoriel ?

Maple , non j'ai juste verifier dans un premier temps ton calcul avec le logiciel, et la j'essaie de le faire a la main avec ton pivot .. mais ca me parait surper long .. autant essayer de resoudre normalement en fonction de d puis a la fin tu prend la valeur d qui te va bien.
Cela dit il vaut peut etre mieu utiliser une des methodes conseilléees auparavant

edit: c'est bien l'élimination de gauss jordant que tu utilise ?
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89l...e_Gauss-Jordan
chui un peu perdu au niveau des methodes pivot de gauss etc.

edit: trp penible cette méthode je l'arrete..

[invite7eeefd41]

la méthode du pivot de gauss

elle est pas compliqué tu peux voir ici

je te remercie encore une fois Fonky

c'est en voulant faire simple que j'ai choisit la méthode des équations mais je crois que je ne faisais que compliquer les choses

[FonKy-]

Sinon si tu ne sais pas faire la méthode du produit vectoriel je te la présente c'est de loin la plus courte je pense

On a
d'ou
et

le produit vectoriel de ces 2 vecteurs va te donner un vecteur normal au plan de coordonnée (a,b,c), qui correspond a ton plan d'equation ax+by+cz+d ou d reste a determiner.

Cela fait

et donc grace aux coordonnées de C (par exemple) tu trouve D
=>

donc une equation de ton plan est -11x+19y+14z-49=0 qui est l'opposé de ce que je t'ai donner apres et qui est donc juste

FonKy-

[invite7eeefd41]

je trouve que la méthode du produit vectoriel est beaucoup plus simple et plus rapide.. dans le sens ou ça nécessite pas autant de calculs

merci beaucoup Fonky

je remercie aussi Martini_bird et Calvert

j'ai finalement compris

[invite7eeefd41]

bonsoir,

voici les calculs à la mains:

par la méthode de gauss (méthode du pivot)


2a + 3b + c + d = 0 ligne pivot

-a + 2b + d = 0

a - 2b + 7c + d = 0




2a + 3b + c + d = 0

7b + c + 3d = 0 ligne pivot

7b - 13c - d = 0



-14/3 a - 4/3 c + 2/3 d = 0

7b + c + 3d = 0

14c + 4d = 0 ligne pivot



-49a + 11d = 0

-98b - 38d = 0

14c + 4d = 0


a = 11 d /49

b = - 38 d / 98

d = - 4 d / 14

pour d = 49;

a = 11
b = -19
c = -14

alors l'équation du plan

11X - 19Y - 14Z + 49 = 0

vérification:

11(2) - 19 (3) - 14 (1) + 49 = 0

11(-1) - 19 (2) - 14 (0) + 49 = 0

11(1) - 19 (-2) - 14 (7) + 49 = 0