précision sur une équation différentielle

[invite2dc206d9]

Salut !
Bon j'ai un exercice simple à faire sur une équa. diff. mais je ne comprend pas la solution fournie par le livre... Je commence à douter qu'il y à peut-etre une erreur dans le corrigé.

Voici l'équa :
dy/dx = -y²sinx
bon, j'arrive facilement à la réponse.. (je passe les démarches) 1/y + cos(x) = c

La réponse du manuel : 1/y + cos(x) = c ; si y inégal à 0; de plus y=0; partout
Je ne comprend pas pourquoi ils disent de plus y=0, partout ??
Je comprend pourquoi si y est inégal à 0.. puisque si y=0, dy/dx = 0... mais bon

Qqn à des idées ?
Merci!
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[martini_bird]

Salut,

àmha, il s'agit du fait que si y s'annule en un point, alors y est identiquement nulle.
De fait, quand tu intègres dy/y, tu suppose que y ne s'annule pas sur l'intervalle.

Cordialement.

[invite2dc206d9]

Je ne comprend pas tes explications...
je comprend que y doit être inégal à 0, pour pouvoir intégrer, mais je ne comprend toujours pas pourquoi y=0; partout...

merci beaucoup de ton aide

[Le_Ced]

Ben en fait c'est une conséquence du théorème de Cauchy-Lipschitz, qui prouve l'unicité de la solution maximale pour une condition (t0,y0).
Quand tu as une équation différentielle ordinaire comme celle là, tu cherches la solution maximale pour une donnée de Cauchy (t0,y0). Petit rappel au cas où ça ne te parle pas, une solution maximale pour la donnée (t0,y0) est une solution qui vaut y0 en t0 et qui n'est la restriction d'aucune autre solution répondant à cette même condition.
Ici, la solution identiquement nulle est visiblement solution, donc si la solution maximale que tu cherches s'annule en t0, alors c'est nécessairement la fonction nulle, étant donnée qu'elle est définie sur tout R et n'est donc la restriction d'aucune autre solution.

J'espère avoir été clair mais si t'as des questions n'hésite pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2dc206d9]

Qu'entends tu par identiquement nulle ?

[Le_Ced]

la fonction identiquement nulle c'est y=0 ie que pour tout x de R y(x)=0

[invite2dc206d9]

Et comment la fonction identiquement nulle est solution à mon équation différentielle ? Je pense que c'est ca que je comprend pas..

[invite2dc206d9]

Ok.. après refléxion.. je pense avoir compris.
dy/dx = -y^2*sin(x)
dy/-y^2=sin(x)dx.
Or si y=0... on divise par dy par 0, ce qui ne se peut pas. Mais pourquoi lorsqu'on divise par 0 on arrive à une solution de l'équation.. ?
Ensuite on suppose qu'y est inégal à 0 pour trouver l'autre solution...

[Médiat]

Ok.. après refléxion.. je pense avoir compris.
dy/dx = -y^2*sin(x)
dy/-y^2=sin(x)dx.
Or si y=0... on divise par dy par 0, ce qui ne se peut pas. Mais pourquoi lorsqu'on divise par 0 on arrive à une solution de l'équation.. ?
Ensuite on suppose qu'y est inégal à 0 pour trouver l'autre solution...

Si ta fonction est identiquement nulle, elle est constante et donc dy = 0, ton équation devient 0 = 0.

[invite2dc206d9]

Je comprend pas non plus le truc sur les restrictions.. J'ai un autre exercice ici :
x*dy/dx=(1-y^2)^1/2
Donc si on sépare ...
dy/(1-y^2)^1/2 = dx / x
Si y = +/- 1 , on aura une division par 0.. donc y=+/- 1 est une solution.

Puis si y<|1| , on trouve la solution
y=sin(ln|x|+c) , puis on doit préciser que x inégal à 0, sinon c'est indéfini...

Or dans la solution, pourquoi ils ne mentionnent pas y=+/- 1 partout ? Est-ce à cause des restrictions de la solution y=sin(ln|x|+c) ??
Puisque y=+/-1 est défini sur tout R, et que pour cette solution x doit etre inégal à 0, y=+/-1 devient la restriction de la solution ?

Je suis vraiment perdu dans tout ca..

[Le_Ced]

Effectivement, pour cette équation y=+/-1 est solution, de la même manière que dans ta première équation y=0 était solution.
Par contre, je suis pas sûr que tu ai compris la notion de restriction.
Pour moi f est une restriction de g si :
f est définie sur ]a1;b1[, g est définie sur ]a2;b2[ et que

Donc ici,soit ta fonction passe par 1 et alors c'est une restriction de y=1, ie qu'elle vaut 1 sur tout son intervalle de définition, ou elle n'y passe pas et elle est de la forme y=sin(ln|x|+c) (jte fais confiance pour les calculs) et de même pour -1

++

[invite2dc206d9]

Pourtant la solution indique que y = +/-1 , mais n'indique pas que cette solution est valide partout.
C'est le partout que je comprend pas..
Dans la 1ere éq.. y=0 partout, mais pour la 2ieme, y = +/- 1 pas partout ?

[Le_Ced]

Pourtant la solution indique que y = +/-1 , mais n'indique pas que cette solution est valide partout.
C'est le partout que je comprend pas..
Dans la 1ere éq.. y=0 partout, mais pour la 2ieme, y = +/- 1 pas partout ?

Je comprends pas trop ton post. parce que pour moi y=0, y=-1 et y=1, qui sont des fonctions entendons nous bien, sa veut dire que pour tout x de R y(x)=0 (ou 1 ou -1) donc ton partout je ne comprends pas trop ce qu'il veut dire désolé

[invite2dc206d9]

A vrai dire.. moi non plus je ne comprend pas pourquoi dans le solutionnaire du manuel ils écrivent comme solution a dy/dx = -y²sin(x) est de 1/y + cos(x) = c ; si y inégal à 0; de plus y=0; partout

Je ne comprend pas pourquoi pour cette solutions ils écrivent partout. (Car moi aussi je comprend le fait que y=0 est valide sur R).

Parcontre dans la solution de l'équation x*dy/dx=(1-y^2)1/2, le manuel indique comme solution : y=sin(ln|x|+c) si x>0 et y<|1|; y=+/- 1

Ce que j'essaie de comprendre c'est pourquoi pour la première équations ils précisent partout, tandis que pour la 2ieme, ils ne le précise pas. (Pourtant y=+/-1 est valide sur R.. donc partout ?)

J'espère me faire clair...
Merci

[edpiste]

Ton manuel est sans doute mal rédigé.
Dans le deuxième exo, il y a pas mal de subtilités :

1. la fonction y identiquement égale à 1 est solution sur R
2. la fonction y identiquement égale à -1 est solution sur R

mais

3. la fonction y qui vaut 1 sur R+* et -1 sur R-*, est solution sur R*.

Et on peut en construire beaucoup comme ça.

Par contre, on peut effectivement affirmer que toute solution définie sur R+* soit est de la forme 1. ou 2., soit s'écrit sous la forme

y=sin(ln|x|+c)

[invite2dc206d9]

Est-ce que tu penses qu'ils ne précisent pas que la solution est valide partout puisque ln|x| est inderminé si x=0 ?
Puisque si on regarde le premier exo, on ne fait pas face à une indetermination ?

[edpiste]

Est-ce que tu penses qu'ils ne précisent pas que la solution est valide partout puisque ln|x| est inderminé si x=0 ?
?

Tu embrouilles différentes choses. La bonne façon de faire pour résoudre ce genre de problème est d'y aller par étape :

1. dans un premier temps, tu ne te préoccupes pas des divisions par zéro et autres et tu obtiens une forme analytique (dans l'exo deux, c'est l'expression avec un ln|x|).

2. Dans un deuxième temps tu regardes pour quelles valeurs de x ta solution ainsi obtenue est bien définie et tu vérifies que pour ces x, tous les calculs que tu as fait à la première étape étaient bien justifiés.

3. Dans un troisième temps, tu étudies les problèmes des singularités (là où les calculs précédents ne fonctionnent plus).

Exemple : résolvons x*dy/dx=(1-y^2)^1/2

1. solution formelle que tu as obtenue y=sin(ln|x|+c).

2. On remarque que cette solution est bien définie sauf pour x=0. On vérifie que tous les calculs de l'étape 1 sont corrects pour cette solution, définie sur R*. D'abord comme y est un sinus de qq chose, la racine carrée (1-y^2)^1/2 est correctement définie (on ne peut pas prendre la racine d'un négatif). Ensuite, on sépare les variables :

dy/(1-y^2)^1/2 = dx/x

Pour que ceci soit correct, il faut que les dénominateurs soient non nuls : c'est le cas si x est non nul ET si y ne prend pas la valeur 1 ou -1.
Or y(x)= 1 ou -1 si ln|x|+c = Pi/2 + kPi.
En résolvant pour x, on trouve une famille x_k de points où les calculs ne sont pas corrects. En revanche sur chaque intervalle ]x_k, x_{k+1}[, tout va bien.
On a donc montré jusqu'à présent que y était bien solution de l'équation sur chaque intervalle ]x_k, x_{k+1}[. Il reste à vérifier qu'elle est encore bien solution en chaque x_k : on repart de l'équation x*dy/dx=(1-y^2)^1/2
et on l'évalue au point x_k : en ce point (1-y^2)^1/2=0 et y=1 ou -1. Comme y est un sinus, cela veut dire que x_k est un point de max ou de min de y et donc dy/dx(x_k)=0. On a donc toujours

0 = x*dy/dx =
(1-y^2)^1/2 =0

au point x_k et y=sin(ln|x|+c) est donc bien solution sur R^* (ouf! pas si facile)

3. Pour le point trois, on voit qu'il y a deux types de singularités : soit x=0, soit y=1 ou -1

3.1 singularité x=0. On a alors forcément y(0)=1 ou -1.

a) y(0)=1. En particulier (puisque l'équation impose que y est compris entre -1 et 1), 0 est un point de maximum de y. Mais, pour x différent de 0,

dy/dx = 1/x (1-y^2)^{1/2}

Donc y est décroissante pour x négatif et croissante x positif. Autrement dit 0 est un point de minimum de y. Comme c'est aussi le maximum, on en déduit que y est la fonction identiquement égale à 1.

b) y(0)=-1. On applique a) à z(x) = -y(-x).

3.2 singularité y=1 ou -1. Supposons qu'il existe un point x_0 (qu'on peut supposer différent de 0 sinon on se ramène au cas précédent) tel que y(x_0)=1 ou -1
Disons par exemple que y(x_0)=1. En remarquant que z= la fonction constante égale à 1 est aussi solution et en utilisant l'unicité de la solution du pb, on conclue que y=z=1 sur R tout entier.