Coincé par des matrices !

[FonKy-]

Je comprend pas par exemple pourquoi g² dans kerg² par exemple
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[invite6f25a1fe]

Reprenons alors :
On chercher u1, u2, u3 tels que f(u1)=u1, f(u2)=u2 et f(u3)=u3+u2.
En faisant intervenir g, on obtient des relation simples :
1) g(u1)=0
2) g(u2)=0
3) g(u3)=u2

J'en ai donc déduit que u1 ker(g), u2 ker(g) et aussi que u2 Im(g).
L'astuce du problème consiste à d'abord chercher u3, bien qu'à priori on est moins de renseignement.
On sait juste pour le moment que u3 est l'antécédent par g de u2 qui appartient au noyau de g. (cf relation 2 et 3)

Et voila ta question, pourquoi g² ???
Tout simplement parce que on peut remarquer comme je l'ai déjà dit que (essaye de la démontrer si tu veux t'en convaincre, c'est vraiment pas difficile)
Cette inclusion me permet de dire que les éléments de ker(g²) sont des antécédents par g des vecteurs du noyau de g (tien, ca nous rappelle pas ce qu'on a dit à propos de u3, antécédant par g de u2, élément du noyau de g ?)
Finalement, on se dit qu'en prenant un vecteur de u3 appartent à ker(g²), il suffira de prendre u2 te que u2=g(u3) pour avoir un vecteur u2 qui sastisfasse les deux condition énnoncés au début (cf relation 2 et 3)
Le problème est : est ce qu'en prenant n'importe quel vecteur de ker(g²), on va obtenir ce qu'on veut. A priori oui. Cependant, il y a une petite subtilité : Comme l'on veut que u1, u2, u3 forment une base, on suppose implicitement qu'ils sont non nuls. Or le vecteurs u2=0 peut satisfaire les conditions 2) et 3) si on prend pour u3 n'importe quel vecteur de ker(g²). En effet, si on prend u3 ker(g) (ce qui est possible car ker(g) est inclus dans ker(g²) ), on va obtenir le vecteur u2=0. Il faut donc prendre u3 comme vecteur de "ker(g²) privé de ker(g)" pour être sûr d'avoir un vecteur u2 non nul.

[invite6f25a1fe]

Je vais résoudre l'exo, ca serait peut être plus concret que de simples explications :
On a
On a vu que sp(M)={1} et que M était juste trigonalisable, pas diagonalisable.
On commence par chercher le noyau de g et de g² :


Pour illustrer le fait qu'il faut faire attention au choix de u3, on va voir ce qui se passe si on prend qui est à la fois un vecteur de ker(g²), mais aussi de ker(g).
On calcul u2=g(u3) et obtient bien sûr 0, ce qui ne va pas.
On va donc choisir par exemple qui est un vecteur de ker(g²) mais qui n'appartient pas à ker(g).
On calcul alors u2=g(u3) et on obtient qui est bien un vecteur de ker(g).
Reste à trouver u1. tel que (u1, u2) forme une base de ker(g). On prendra donc
Finalement, on a obtenu la matrice de passage :

On a plus quà vérifier : miracle on a bien

Si vous voulez vous entrainer, essayer de le faire en choisissant un autre vecteur u3 que moi par exemple.
Pour finir, un exemple très concret, vue que c'est l'exo que j'ai recu à l'oral de Centrale cette année : je vous conseil donc de la faire :
Montrer que est semblable à la matrice .

Un dernier exemple, peut être plus difficile (je vous laisse chercher la matrice N histoire de corser un peu l'affaire) : Jordaniser la matrice suivante .

Voila, j'espère ne pas trop vous avoir embrouiller cette fois ci.

[FonKy-]

okay merci beaucoup pour tes details je les lirais dans la journée et ferait tes exo

bye

[FonKy-]

Salut jai chercher un peu ton exo de centrale, mais il est visiblement faut, car ta matrice N est M n'ont pas le meme determinant il s'ensuit que la semblablilité est morte
je pense que ton coef a_3,3 ou a_4,4 vaut -1 à la place de 1. Car en trigonalisant tu doit retrouver les valeurs propres et que -1 est de multiplicité = à 3.

Pour l'exemple plus difficile je sais pas trop pour la jordanisation, aussi faut dire que ce n'est pas du cours, alors je l'ai trigonaliser, je sais pas si ca revient au meme , je comprend pas bien

Moi j'ai trouver



Sinon j'ai une question, pour qu'une matrice triangulaire soit semblable à M , il faut nécessairement retrouver les valeurs propres dans la daigonales non ?

Merci, FonKy-

[invite6f25a1fe]

Oula, oui désolé. Le dernier terme de la diagonale est un -1 et non pas un 1 (au passage, avant de vérifier le déterminant, tu pourrais regarder la trace : c'est plus facile a calculer, et ca peut montrer une erreur comme c'est le cas ici)

Lors de la jordanisation (mais c'est aussi le cas pour la trigonalisation), on retrouve le spectre sur la diogonale. C'est bien le cas ici, puisque le spectre est {0,0,0}. A priori, tu a correctement trigonaliser la matrice. Si tu veux la jordaniser, il te faux trouver une matrice de passage qui te donnera une matrice avec : une diagonale avec le spectre, et une sur-diagonale avec soit des 1 soit des 0 (au niveau des endomorphismes induits, cela revient à faire une décomposition de Dunford "endomorphisme diagonalisable"+"endomorphisme nilpotent").
L'astuce pour cet exo est en fait de connaitre la taille du plus grand bloc de jordan (est ce qu'on a 2 bloc : l'un de taille 1 et l'autre de 2, ou alors un unique bloc de taille 3 ?). Pour cela, le plus simple est d'aller chercher le polynome minimale. Le coefficient de multiplicité pour la valeur porpre dans le polynome minimal (et pas le polynome caractéristique) correspond à la taille du plus grand bloc de jordan (il correspondra également à l'indice de nilpotence dans la décomposition de l'endomorphisme induit).
Dans notre cas, le polynome caractéristique est . Par contre, X² n'est pas annulateur, donc est le polynome minimal. On en déduit alors que le plus gros bloc de jordan relatif à la valeur propre 0 est de taille 3. On peut donc s'attendre à une matrice N de la forme

[FonKy-]

Arf ben je bloque en fait au début j'avais posé g=f-idE
mais je tombais sur un systeme pas tres intéressant.
g(u1)=-2u1
g(u2)=u1-2u2
g(u3)=0
g(u4)=u3-2u4

puis apres j'ai poser g=f+idE
mais est-ce une bonne idee car dim (E(-1))=1
je tombais sur des bon truc mais on a Ker(g²)=ker(g) c normal cela dit?

donc help

FonKy-

[invite6f25a1fe]

Jusqu'à maintenant, j'avais utilisé la fonction g=f-id car la valeur porpre était 1. Le problème, c'est qu'ici, tu as deux valeurs prores distinctes 1 et -1. Je ne suis pas sûr que passer par la fonction g1=f-id et g2=f+id soit vraiment utile (je l'avais utilisé dans mes post pour simplifier un peu la compréhenson et la lecture). Mais si ca t'aide, tu peux toujours faire appel à des fonctions auxilliaires. Ainsi, il te faudra considérer autant de fonction que de valeur propre : donc 2.
tu pose g=f-id et h=f+id par exemple, puis tu récrit tes 4 équations
g(u1)=...
g(u2)=...
h(u3)=...
h(u4)=...
Mais il ne faut pas écrire les 4 équations avec une seule fonction, sinon tu obtiendra rien de simple. En effet, le fait que les espaces caractéristiques soient en somme directe t'assure que le bloc de jordan pour la valeur 1 et pour la valeur -1 sont indépendants : ce n'est donc pas grave si tu utilise deux fonction g et h.
Bonne continuation pour la suite de l'exo.
P.S : au passage, tes 4 équations avec g me paraissent un peu bizar

[FonKy-]

P.S : au passage, tes 4 équations avec g me paraissent un peu bizar

heu non ou alors j'ai fais une erreur de méthode

FonKy-

[FonKy-]

tu trouve quoi comme vecteur ? c

[invite6f25a1fe]

g(u1)=-2u1
g(u2)=u1-2u2
g(u3)=0
g(u4)=u3-2u4

FonKy-

Il y a peu de chance que ca soit juste, pour la simple raison que ces équations sont censés traduire ce que tu cherche, c'est-à-dire la matrice N (ici, on a l'avantage de l'avoir dans l'énnoncé, sinon il faut la deviner comme dansle dernier exo).
Dans notre cas, on donne la matrice
En notans f l'endomorphisme associée à N, on a donc :
f(u1)=-u1
f(u2)=-u2+u1
f(u3)=u3
et f(u4)=u4+u3
On peut donc poser g=f+id et h=f-id ce qui donne :
g(u1)=0
g(u2)=u1
h(u3)=0
et h(u4)=u3

Après, tu utilise le même principe que dans mes post précédent

[FonKy-]

Dans notre cas, on donne la matrice
En notans f l'endomorphisme associée à N, on a donc :
f(u1)=-u1
f(u2)=-u2+u1
f(u3)=u3
et f(u4)=u4+u3
On peut donc poser g=f+id et h=f-id ce qui donne :
g(u1)=0
g(u2)=u1
h(u3)=0
et h(u4)=u3

Après, tu utilise le même principe que dans mes post précédent

Non mais ta oublié que ta matrice N était fausse :/

Donc f orcément la tu tombe sur des truc bien

(ou je fais une erreur?)

et dans ce cas la c plus si simple, si tu a l'idée je la veux bien

Merci de ton aide

FonKy-

[invite6f25a1fe]

Non mais ta oublié que ta matrice N était fausse :/

FonKy-

Heu, non je ne pense pas qu'elle soit fausse. C'était la matrice M qui était fausse, et je l'ai corrigé dans un post précédent, mais ce n'était peut être pas très clairs (désolé si c'est ca qui t'a géné).
De toute facon, on peut retrouver cette matrice N :

On obtient le polynôme caractéristique qui est , qui se trouve aussi être le polynome minimale.
- l'exposant pour la racine 1 est 2, donc on aura un bloc de jordan de taille 2
- l'exposant pour la racine -1 est 2, donc on aura un bloc pour cette valeur propre également de taille deux.
On obtient donc bien la matrice N : matrice diagonale PAR BLOC, avec deux blocs de jordan de taille 2.


De toute facon, même si ma matrice était fausse, tu aurais qu'en même dû trouvé une matrice avec le spectre (-1 ou 1) et une surdiagonale de 0 ou de 1. Tes équations n'auraient donc du faire intervenir que des coefficients 0 ou 1, -1. Or, tu obtient des coefficients 2 dans tes équations.
Voila, j'espère ne pas avoir fait de nouvelle erreur dans mes matrices cette fois

[FonKy-]

Mais mdr moi j'avais changé en -1 le dernier terme de N .. et pas M .. loool . petite mésentente ^^
La evidement ca sera mieux je vais chercher

FonKy-

[FonKy-]

okay merci beaucoup j'ai trouvé



oui en fait c évidement plus simple par la suite en posant 2 fonctions , mais ici je me demande si les fonctions sont pas trop simples a trouver.
Sinon les fonctions qu'on pose devront toujours j'imagine comporter une des 2 valeurs propres car elle se situe sur la diagonale de N n'est-ce pas ?

Voila sinon je te remercie beaucoup car je pense avoir fait un grand pas en avant sur ce qui touche la trigonalisation. Car concernant la jordanisation ce n'est pas au programme de spé si je dis pas de betise non ? =)

Merci

FonKy-

[invite6f25a1fe]

Si tu as vérifier ton résultat et que ca marche, c'est très bien.
Effectivement, le programme ne parle pas explicitement de jordanisation. Cependant, la pluspart des classes * en prépa l'aborde. De plus, la jordanisation tombe parfois au concours de manière implicite (comme dans mon exo de centrale).
La jordanisation peut également être le point de départ d'un exo, par exemple dans les equa diff, avant de résoudre un systeme différentielle non diagonalisable (la jordanisation permet de simplifier le systeme plus qu'une trigonalisation standard et facilite donc sa résolution par remonté du système)
En tout cas, bravo pour ta persévérence dans l'effort !