question sur l'infini

[invitec053041c]

De toutes façons, rien ne sert de se casser la tête à expliciter des bijections.
On montre que si E est dénombrable, alors E^n l'est aussi.
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[invitebe0cd90e]

Si elle n'est pas bijective ca ne peut pas marcher.

bah si, si on a une injection de Z^2 dans Z, alors ils ont forcement meme cardinal, c'est evident..

[invitebb921944]

bah si, si on a une injection de Z^2 dans Z, alors ils ont forcement meme cardinal, c'est evident

Je ne vois pas bien ce que tu veux dire.
Peux tu être plus explicite ?

[invitebe0cd90e]

Je ne vois pas bien ce que tu veux dire.
Peux tu être plus explicite ?

la question qui nous occupe est de prouver que Z et Z^2 ont meme cardinal. Comme Z est moralement inclus dans Z^2, il faut et il suffit de prouver que le cardinal de Z^2 n'est "pas plus grand" que celui de Z. Si on a une injection de Z^2 dans Z, c'est chose faite. donc une injection dans ce sens suffit a obtenir le resultat recherché...

cette technique a l'avantage de marcher pour un n qulquonque, il suffit de prendre par exemple n nombres premiers distincts et de considerer l'application :

(a1,a2,...,an) -> 2^a1 * 3^a2 * 5^a3 * .... * p^an

qui est injective si je ne m'abuse, et donc Z et Z^n ont meme cardinal.

[invitebb921944]

Comme Z est moralement inclus dans Z^2,

C'est un abus de langage ça si je ne m'abuse !
Je comprends le principe de ta méthode mais à vrai dire, ca revient au même que de montrer la bijection et le coup du Z inclu "moralement" dans Z² me rebute un peu.

[Médiat]

- pour la 2e fonction : est-ce que c'est bien que t'as écrit ? Est-ce que 7 a un antécédent par cette fonction ?

Non la fonction est
Comme l'a fait remarquer Ganash, en rajoutant -1 l'image est N plutôt que N-{0} et cette fonction est bien bijective (pour la réciproque, on décompose n et facteur premier l'exposant de 2 donne x, et tout le reste est impair donc peut s'écrire de façon unique 2y+1).

Pour la première, (x+y)(x+y+1)/2 donne la somme des nombres de 0 à (x+y), et pour cette somme donnée x peut varier de 0 à (cette somme) donc en l'ajoutant j'obtiens bien une bijection. Pour une démonstration plus formelle, en raisonnant sur la somme, les calculs pour montrer qu'elle est injective et surjective sont assez simples.

Il y a aussi la fonction
si x >= y (x, y) --> x²+y
si x < y (x, y) --> y²+2y-x
qui m'a été soufflée par mmy, elle correspond à un parcours de N² "en carrés"

Z inclu "moralement" dans Z² me rebute un peu.

Il suffit de traduire par "Z s'injecte canoniquement dans Z²", donc l'njection de Z² dans Z suffit à conclure.

[invitebe0cd90e]

C'est un abus de langage ça si je ne m'abuse !
Je comprends le principe de ta méthode mais à vrai dire, ca revient au même que de montrer la bijection et le coup du Z inclu "moralement" dans Z² me rebute un peu.

euh, non, quand meme, je ne vois pas du tout ce qui te gene.

- c'est qu'a moitié un abus de langage, Zx{0} est bien inclus dans Z^2, et Z et Zx{0} c'est quand meme sensiblement pareil, honnetement ca ne pose aucun probleme de dire ca... si on chipote c'est aussi un abus de langage de dire que N est inclus dans Z, que Z est inclus dans Q, etc... ce sont effectivment des abus de langage mais a un gros niveau de chipotage... si on commence a en tenir compte on en sort pas....

- et non, ca ne revient pas au meme, exhiber une injection est a priori plus facile que d'exhiber une bijection (ca ne peut pas etre plus dur en tout cas )....

[invitebb921944]

En quoi N inclu dans Z pourrait etre un abus de langage ?

[invitebe0cd90e]

En quoi N inclu dans Z pourrait etre un abus de langage ?

boah, faut voir la maniere dont on construit Z... m'enfin c'etait pour dire, c'est plus explicite avec Z inclus dans Q...

[Médiat]

En quoi N inclu dans Z pourrait etre un abus de langage ?

Z peut être défini comme le quotient de NxN par une relation d'équivalence