question sur l'infini

invite71c0fa7a · 31/08/2007, 14h29

Tout d'abord bonjour a tous car je suis un petit nouveau.

Voila mon probleme: en révisant mes cours de maths de sup (car je passe en spé PC*) , j'ai relu que si une fonction (que l'on considérera a variable réelle) est injective d'un ensemble vers un autre, alors l'ensemble d'arrivée est contenu dans celui de départ; jusque la tout va bien. Sauf que en reflechissant j'ai pensé a la fonction partie entiere:elle est bien injective de R dans N. Mais N est de cardinal infini... ce qui veut donc dire qu'un ensemble de cardinal infini (N) est lui meme contenu dans un un ensemble de cardinal infini mais plus grand (R).Y aurait-il donc des infinis plus grand que d'autres?....

D'avance merci pour vos réponses.

**Coincoin** · 31/08/2007, 14h32

Salut et bienvenue,

Y aurait-il donc des infinis plus grand que d'autres?

Tout d'abord ton exemple ne prouve pas que le cardinal de R est plus grand que celui de N. Il pourrait très bien être égal.
Il se trouve qu'en regardant les bijections entre ensembles, on peut définir de manière rigoureuse un classement des cardinaux infinis. Alors le cardinal de R est plus grand que celui de N (même s'ils sont tous les deux infinis). Mais il faut se méfier de l'intuition, par exemple Z a le même cardinal que N alors que N est strictement inclus dans Z.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transfini

invitebb921944 · 31/08/2007, 14h39

Voila mon probleme: en révisant mes cours de maths de sup (car je passe en spé PC*) , j'ai relu que si une fonction (que l'on considérera a variable réelle) est injective d'un ensemble vers un autre, alors l'ensemble d'arrivée est contenu dans celui de départ; jusque la tout va bien. Sauf que en reflechissant j'ai pensé a la fonction partie entiere:elle est bien injective de R dans N. Mais N est de cardinal infini... ce qui veut donc dire qu'un ensemble de cardinal infini (N) est lui meme contenu dans un un ensemble de cardinal infini mais plus grand (R).Y aurait-il donc des infinis plus grand que d'autres?....

Je suis perturbé.
Est-ce la la fameuse différence entre fonction et application que je n'ai jamais pu dénicher ?
Ne peut-on pas construire une fonction qui va de R dans l'ensemble des permutations d'un ensemble à 4 éléments ?
Dans ce cas je ne vois pas bien comment l'ensemble d'arrivée peut être contenu dans celui de départ.
J'ai beau relire je ne vois pas d'indication sur l'ensemble d'arrivée.

ARGHhhhhh

**FonKy-** · 31/08/2007, 14h41

Envoyé par puickman

j'ai relu que si une fonction (que l'on considérera a variable réelle) est injective d'un ensemble vers un autre, alors l'ensemble d'arrivée est contenu dans celui de départ

Quelqu'un pourrait confirmer ca ?
Je pensais qu'on pouvait dire que la fonction tangente était injective de $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitebb921944 · 31/08/2007, 14h42

Quand il dit "à variable réelle", j'imagine qu'il veut dire à variable dans R (et non un de ses sous ensembles)
Après peut être que je capte rien ca m'étonnerait plus là...

**FonKy-** · 31/08/2007, 14h44

Envoyé par Ganash

Quand il dit "à variable réelle", j'imagine qu'il veut dire à variable dans R (et non un de ses sous ensembles)
Après peut être que je capte rien ca m'étonnerait plus là...

je pense pas sinon il n'aurait pas dit ce qui suit :/

invitebb921944 · 31/08/2007, 14h58

je pense pas sinon il n'aurait pas dit ce qui suit :/

Dans ce qui suit, il prend pour exemple une application à variable dans R (a ne pas confondre avec "à valeurs dans R")

invitec053041c · 31/08/2007, 15h05

Bonjour.

Envoyé par puickman

Sauf que en reflechissant j'ai pensé a la fonction partie entiere:elle est bien injective de R dans N.

Ah bon ?
E(1.2)=E(1.5)=1 , donc pour ce qui est de l'injectivité ça le fait pas trop

.

**Gwyddon** · 31/08/2007, 15h10

Bonjour,

Déjà il y a une étourderie dans le premier message

si une fonction (que l'on considérera a variable réelle) est injective d'un ensemble vers un autre, alors l'ensemble d'arrivée est contenu dans celui de départ; jusque la tout va bien

Lire évidemment le contraire : l'ensemble de départ, au mieux, est dans certains cas contenu dans l'ensemble d'arrivée.

Mais ce n'est pas toujours le cas ! De manière générale on peut dire qu'il est en bijection avec un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée, c'est tout, puisque l'on peut construire des fonctions entre des ensembles de quantités très différentes.

**FonKy-** · 31/08/2007, 15h17

Envoyé par Gwyddon

Bonjour,

Déjà il y a une étourderie dans le premier message

Lire évidemment le contraire : l'ensemble de départ, au mieux, est dans certains cas contenu dans l'ensemble d'arrivée.

Mais ce n'est pas toujours le cas ! De manière générale on peut dire qu'il est en bijection avec un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée, c'est tout, puisque l'on peut construire des fonctions entre des ensembles de quantités très différentes.

Merci Gwyddon

invitebe0cd90e · 31/08/2007, 16h23

On recapitule :

En gros, dire qu'une fonction f d'un ensemble E vers un ensemble F est injective, ca revient a dire que chaque element de E est envoyé vers un element distinct de F. donc moralement ca veut dire que F va contenir une "copie" de E.

Donc dire que E est contenu dans F est faux en general, mais disons que ca y ressemble vachement, et dans pas mal de cas on autorise cet abus de langage (avec des precautions quand meme). en fait, on peut voir l'inclusion comme une application injective particuliere.

ensuite, pour repondre au reste, essaie de regarder ce que signifie la notion d'injection dans le cas des ensembles finis. Si E et F sont finis, le fait que F soit injective implique que F contient "au moins autant" d'element que E. ( En fait, c'est meme comme ca qu'on definit les inegalités entre entiers, mais passons).

Cette intuition peut se generaliser sans probleme avec des ensembles infinis. Si f est injective et que E et F soient fini on non, on dira que F contient au moins autant d'elements que E. Et reciproquement, s'il n'existe absolument aucune injection de E vers F, c'est que E contient strictement plus d'element que F. donc il y a bien une hierarchie des infinis.

Le plus petit infini est celui de N (denombrable)
L'ensemble des reels est strictement plus grand (indenombrable). Par contre, la question de savoir s'il y a quelque chose entre les 2 n'a pas de reponses dans le cadre habituel des mathematiques (mais ca va sans doute bientot changer

).

Plus precisement, R a la "meme taille" que l'ensemble des parties de N, qu'on note P(N). Et de la meme maniere, P(R) est strictement plus grand que R, et P(P(R)) encore plus grands, etc.... donc on peut construire des infinis "arbitrairement grands".

j'espere que ceci t'eclaire quelque peu....

**Médiat** · 31/08/2007, 16h34

Envoyé par jobherzt

(mais ca va sans doute bientot changer

).

Il a été démontré que HC est indécidable dans ZF, donc cela ne devrait pas changer, peut-être fais-tu allusion aux travaux de Woodin ?

invitebe0cd90e · 31/08/2007, 16h38

Envoyé par Médiat

Il a été démontré que HC est indécidable dans ZF

c'est ce que je voulais dire par "n'a pas de reponses dans le cadre habituel des mathematiques" sans rentrer dans les details

peut-être fais-tu allusion aux travaux de Woodin ?

absolument

**Médiat** · 31/08/2007, 16h46

Envoyé par jobherzt

absolument

D'après ce que j'en ai compris, la $\text{[math]}$ -logique de Woodin permet de faire un choix raisonné (avec de beaux arguments) entre ZF + non HC (finalement préféré) et ZF + HC.

invitebe0cd90e · 31/08/2007, 16h58

Envoyé par Médiat

D'après ce que j'en ai compris, la $\text{[math]}$ -logique de Woodin permet de faire un choix raisonné (avec de beaux arguments) entre ZF + non HC (finalement préféré) et ZF + HC.

c'est aussi ce que j'ai compris, disons qu'il introduit des axiomes "raisonnables" qui auraient comme consequence non recherchée (cad que les axiomes sont introduits pour eux meme et pas pour HC) la negation de HC...

invitea774bcd7 · 31/08/2007, 17h01

Envoyé par puickman

Y aurait-il donc des infinis plus grand que d'autres?....

C'est très naïf mais je pense qu'entre
– le nombre de réels entre 0 et 1 et
– le nombre de réels entre 0 et 2,
y en a un qui est plus grand que l'autre…

Non ?

invitebe0cd90e · 31/08/2007, 17h03

Envoyé par guerom00

C'est très naïf mais je pense qu'entre
– le nombre de réels entre 0 et 1 et
– le nombre de réels entre 0 et 2,
y en a un qui est plus grand que l'autre…

Non ?

et ben non, c'est justement le miracle de l'infini... l'infini fois deux ca fait toujours le "meme" infini... il faut des operations plus "puissantes" pour sauter d'un infini a un autre.

invitea774bcd7 · 31/08/2007, 17h05

J'ai jamais dit que c'était l'infini fois deux.
Je dis qu'il y en a un plus grand que l'autre.

Je pourrais imaginer des démonstrations erronées en prenant comme hypothèse de départ qu'il y a autant de réels entre 0 et 1 qu'entre 0 et 2…

Mais j'y connais rien, hein… C'est juste un sentiment

invitebe0cd90e · 31/08/2007, 17h06

Envoyé par guerom00

J'ai jamais dit que c'était l'infini fois deux.
Je dis qu'il y en a un plus grand que l'autre.

ca ne change rien au fait que c'est faux... l'application x |--> 2x etablit une bijection entre ces 2 ensembles, ils ont donc meme cardinal.

**justine&coria** · 31/08/2007, 17h13

Envoyé par guerom00

J'ai jamais dit que c'était l'infini fois deux.
Je dis qu'il y en a un plus grand que l'autre.

Imagine la fonction f de [0,1] dans [0,2] définie par f(x)=2x.
Cette fonction est bijective Comme l'a bien expliqué jobherzt, il existe une sorte de correspondance entre chacun des nombres de [0,1] avec ceux de [0,2].

Par contre, j'aurais une question à mon tour. $\text{[math]}$ est dit dénombrable parce qu'il a le même cardinal que $\text{[math]}$ : par contre, j'arrive pas à m'imaginer une bijection de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ . Est-ce que vous auriez un exemple ?

invitebe0cd90e · 31/08/2007, 17h17

Envoyé par justine&coria

Imagine la fonction f de [0,1] dans [0,2] définie par f(x)=2x.
Cette fonction est bijective Comme l'a bien expliqué jobherzt, il existe une sorte de correspondance entre chacun des nombres de [0,1] avec ceux de [0,2].

Par contre, j'aurais une question à mon tour. $\text{[math]}$ est dit dénombrable parce qu'il a le même cardinal que $\text{[math]}$ : par contre, j'arrive pas à m'imaginer une bijection de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ . Est-ce que vous auriez un exemple ?

exhiber une vraie bijection explicite est assez dur... je ne sais meme pas s'il en existe une "formulable". par contre :

il est trivial que Z est denombrable.

le procuit cartesien de 2 ensembles denombrable l'est aussi donc ZxZ est denombrable.

ensuite, l'application a/b |--> (a,b) etablit une surjection de ZxZ dans Q, donc Q est au plus denombrable.

**Médiat** · 31/08/2007, 17h18

Envoyé par guerom00

Je pourrais imaginer des démonstrations erronées en prenant comme hypothèse de départ qu'il y a autant de réels entre 0 et 1 qu'entre 0 et 2…

En fait ce qu'il faut comprendre c'est que les cardinaux transfinis ne sont pas des nombres au sens où les éléments de N ou de R le sont, il n'y a pas de doute que le cardinal de [0; 1] est égal au cardinal de [0 ; 2] (cf. le post de jobherzt), et intuitivement nous traduisons cela par même nombre d'éléments, parce que les cardinaux se comportent comme le prolongement naturel des nombres entiers, et cela semble contre-nature dans le cas que tu cites, mais si tu utilises bien la notion de cardinal (classe d'équipotence par exemple), le problème disparaît complètement.

invitea774bcd7 · 31/08/2007, 17h19

Envoyé par jobherzt

ca ne change rien au fait que c'est faux... l'application x |--> 2x etablit une bijection entre ces 2 ensembles, ils ont donc meme cardinal.

Ah bah oui, c'est vrai. Cool !

Je ne sais pas si c'est ta question justine&coria mais le nombre des états liés atomiques est un infini dénombrable (moi, c'est la physique plutôt

). Donc la fonction 1/n^2 avec n entier, en fait…

invitec00162a9 · 31/08/2007, 17h35

Bonjour,

Envoyé par guerom00

J'ai jamais dit que c'était l'infini fois deux.
Je dis qu'il y en a un plus grand que l'autre.

Je pourrais imaginer des démonstrations erronées en prenant comme hypothèse de départ qu'il y a autant de réels entre 0 et 1 qu'entre 0 et 2…

Mais j'y connais rien, hein… C'est juste un sentiment

Il faut se méfier de l'intuition dès qu'on manipule l'infini...
Une façon (pas très rigoureuse mais c'est juste pour l'idée) de voir que les 2 ensembles que tu cites ont la même taille est la suivante :
on pourrait dire que [0,2] est plus grand (contient plus de nombres) que [0,1] si on pouvait trouver des nombres de [0,2] q'on ne puisse pas mettre en correspondance un-à-un avec des nombres de [0,1].
Or avec la correspondance [0,1] -> [0,2] : x |-> 2x, on voit qu'on peut mettre chaque nombre d'un ensemble en relation avec l'autre, et il n'y a pas de "trou".

Il y a un concept qui permet de leur attribuer une taille avec laquelle on peut faire des comparaisons, c'est la notion de mesure (de Lebesgue). Mais avec ça on ne compte pas le nombre de nombres, et ce n'est pas non plus exempt de bizzareries.

**justine&coria** · 31/08/2007, 18h39

Envoyé par jobherzt

exhiber une vraie bijection explicite est assez dur... je ne sais meme pas s'il en existe une "formulable". par contre :

il est trivial que Z est denombrable.

le procuit cartesien de 2 ensembles denombrable l'est aussi donc ZxZ est denombrable.

ensuite, l'application a/b |--> (a,b) etablit une surjection de ZxZ dans Q, donc Q est au plus denombrable.

Quand tu dis dénombrable, je suppose que ça veut dire que ça a le même cardinal que $\text{[math]}$ .
Est-ce que t'aurais par exemple alors, une bijection de $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ ?
Parce que tu dis que le produit cartésien de 2 ensemble est dénombrable, mais je vois pas tout de suite pourquoi.

invitebe0cd90e · 31/08/2007, 18h48

Envoyé par justine&coria

Quand tu dis dénombrable, je suppose que ça veut dire que ça a le même cardinal que $\text{[math]}$ .
Est-ce que t'aurais par exemple alors, une bijection de $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ ?
Parce que tu dis que le produit cartésien de 2 ensemble est dénombrable, mais je vois pas tout de suite pourquoi.

oui, c'est la definition de denombrable.

ensuite : en fait, pour tout ensemble E et tout entier n, E et E^n ont meme cardinal, je n'ai pas de demo la tout de suite, mais ca semble assez evident.... la demo doit pouvoir se retrouve

dans ce cas precis, on peut assez facilement exhiber une bijection plus ou moins explicite en tracant une spirale : imagine toi Z^2 comme une "grille" de point dans le plan :

- tu pars de (0,0) que tu associe a 0, tu pars a droite vers (1,0) a qui tu associes 1, puis tu montes vers (1,1) que tu colles avec 2, puis (0,1), (-1,1), (-1,0), (-1,-1), (0,-1), (1,-1), (2,-1), etc... et tu continues en tracant une sorte de spirale carrée. tu vas bien passer une et une seule fois par chaque point de Z^2.

**Médiat** · 31/08/2007, 19h29

Pour NxN dans N il y a plusieurs exemples
(x,y) --> (x+y)(x+y+1)/2 + x (parcours à somme constante)
ou plus brutal :
(x, y) --> 2^x(2*y+1)

**justine&coria** · 31/08/2007, 22h29

Envoyé par jobherzt

- tu pars de (0,0) que tu associe a 0, tu pars a droite vers (1,0) a qui tu associes 1, puis tu montes vers (1,1) que tu colles avec 2, puis (0,1), (-1,1), (-1,0), (-1,-1), (0,-1), (1,-1), (2,-1), etc... et tu continues en tracant une sorte de spirale carrée. tu vas bien passer une et une seule fois par chaque point de Z^2.

Ah oui, parfait ! merci, je vois beaucoup mieux d'un coup.

Par contre, j'aimerais - si possible évidemment

- un peu plus de précision sur les fonctions que Mediat a donnée :
- pour la 2e fonction : est-ce que c'est bien $\text{[math]}$ que t'as écrit ? Est-ce que 7 a un antécédent par cette fonction ?

invitebe0cd90e · 31/08/2007, 22h38

Envoyé par justine&coria

- pour la 2e fonction : est-ce que c'est bien $\text{[math]}$ que t'as écrit ? Est-ce que 7 a un antécédent par cette fonction ?

non, mais l'essentiel est qu'elle soit injective (et elle l'est).

invitebb921944 · 31/08/2007, 22h57

Pour NxN dans N il y a plusieurs exemples
(x,y) --> (x+y)(x+y+1)/2 + x (parcours à somme constante)
ou plus brutal :
(x, y) --> 2x(2*y+1)

Pour être plus exact : (x,y)-->2^x(2*y+1)-1 (sans quoi l'application va dans N*)

Pour justine&coria, non la deuxième fonction est celle que j'ai donné.
7 a effectivement un antécédent : (3,0).

non, mais l'essentiel est qu'elle soit injective (et elle l'est).

Si elle n'est pas bijective ca ne peut pas marcher.

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