Bonjour
si quelqu'un connait une réponse à ce problème, je suis preneur. Peut-être est-ce connu ou trivial ???
L'équation différentielle suivante :
admet une solution du genre :
Mais que se passe t-il si on généralise :
où F est le vecteuret
(désolé, mon LaTeX est assez ancien et je ne sais plus faire les matrices, mais je pense que c'est compréhensible).
Y a t-il une solution simple ou connue à ce problème ?
Merci
C'est ce qu'on appelle l'analyse modale, abondamment utilisée dans les études de vibrations. Dans l'automobile ou l'aéronautique, la matrice de raideur gamma aurait plutôt des dimensions de 100 000 x 100 000 mais l'idée est la même : chercher une solution harmonique (exponentielle complexe), diagonaliser la matrice de raideur et dire que les valeurs propres sont des fréquences propres et que les vecteurs propres qui sont des combinaisons des degrés de liberté (2 dans ton exemple) sont des déformations qui se produisent à des fréquences déterminées. Le mouvement réel est une combinaison de ces déformations.
Ca se voit facilement dans la vie courante. Par exemple les jeux à ressorts dans les squares : on voit bien que le mouvement du cheval ou autre moto est une superposition de mouvements qui ont au départ 6 degrés de liberté (3 translations + 3 rotations comme tout solide). Avec un peu d"habileté, on peut arriver à en isoler un, notamment celui qu'impose le gosse qui se balance.
Souvent (pas toujours) le mode le moins amorti est celui qui a la plus basse fréquence, les autres fréquences propres ne sont pas des multiples de celle-là.
Merci JeanPaul.
Mon problème est concret, donc j'ai besoin d'aller plus loin et de formuler une solution. Heureusement, il n'est que 2x2, c'est pourquoi j'aimerais bien lui apporter une solution formelle.
Peux-tu m'aider, en m'en disant plus ou en m'indiquant un bon livre ou un site qui traite du sujet ?
Merci...
Pour un système 2x2 on ne va pas s'amuser à diagonaliser quoi que ce soit. Dans la 1ère équation tu extrais f2 en fonction de f1 et de sa dérivée seconde. Tu portes f2 dans la seconde en l'ayant dérivée aussi.
Ca va te donner une équation différentielle du 4ème ordre.
Tu vas charcher une solution du genre exp(s t) où t est le temps et s une pulsation réelle ou complexe qui proviendra d'une équation du 4ème degré venant de l'équa diff.
Ce n'est pas une vraie équation du 4ème degré car elle est bicarrée. Donc facile de calculer s. Tu obtiens 4 valeurs possibles pour s, ce qui veut dire que f1 et f2 sont des sommes des 4 exponentielles. Les coefficients résultent de 4 conditions initiales (f1, f2, f'1, f'2 à l'instant zéro).
Si ça t'amuse tu devrais trouver une somme du genre a f1 + b f2 qui est une exponentielle simple et pas une somme. C'est ça un mode.
Merci, je vais essayer cela...
A+
