La il faut qu'on m'explique ou je me gourre :Envoyé par boardingman
la bonne réponse n'a pas encore était donnée...
alors , les matheux? on est collé?
log(189482189482)=189482*log(189482)=1000004,1
donc 189482189482=101000004,1=12589*101000000
log(189481189481)=189481*log(189481)=999998,4
donc 189481189481=10999998,4<101000000
en d'autres termes, 189482189482>5*101000000
et 189481189481<5*101000000
Pour moi la réponse est donc bien 189482. Tu vois ou est mon erreur ?
Pour ma part, j'arrive, d'une autre manière un peu longue, au même résultat que Yat :
n^n >= 5x10^1'000'000
Soit n=10^a
(10^a)^(10^a) >= 5x10^(10^6)
10^(a*10^a) >= 5x10^(10^6)
10^(a*10^a) >= 10^(log10(5))x10^(10^6)
a*10^a >= 10^6+log10(5) = 1'000'000,69897...
Soit maintenant les approximations :
Avec f(a)=a*10^a
Si a = 5.27756796, f(a) = 1.'000'004132... < 1'000'000,69897...
Si a = 5,2775665825 f(a) = 1000000,6991403500... > 1'000'000,69897...
Si a = 5,2775665824 f(a) = 1000000,6988911400... < 1'000'000,69897...
Je prends donc a = 5,2775665825
Alors n=10^a = 189481,399
Donc 189482 suffit, mais 189481 ne suffit pas.
Voilà donc !
dites-moi tout de suite, si j'ai fait une bourde, ou s'il y a plus rapide et plus sûr.
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
ln(10)*1000000 =2302585,093
ln(10)*1000001 =2302587,396 > 5 10e10000000
ln(x)*x pour x =189481 =2302581,456 pas asser < 10e1000000
ln(x)*x pour x =189482 =2302594,608 > 5 10e1000000 puisque > 10e 1000001
escuses moi Yat , je n'avais pas vu ta réponse.C'est la bonne.
(c'est la citation que tu as mis avant qui a du détourner mon regard
pour me faire pardonner...je vous en offre un autre:
Que vaut la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de 4444^4444 ? (4444 puissance 4444) .
bonne démostration.
Si j'utilise la relation de congruence qur je noterai C :
J'utilise la relation de congruence modulo 9, puisque nous nous situons en base 10.
4444^4444C^7^4444 mod 9
car a^mC(a+9n)^m mod 9, avec n, nombre entier.
Démo : (a+9n)^m=a^m+9*a^(m-1)*9n+...+(9n)^m
Tous les termes sont des multiples 9 (sauf a^m bien sûr).
Et comme a+9nCa mod 9 par définition, (a+9n)^mCa^m, et comme 4444=4437+7, bel et bien : 4444^4444C^7^4444 mod 9.
7^4444C7 mod 9
car 7^(m+3n)C7^m, avec n, nombre entier.
Démo : 7^(m+3n)=7^m*7^3n=7^m*(7^3)^n= 7^m*343^n
or 343C1 mod 9 (342 est multiple de 9), en vertu du premier théorème, 7^m*343^nC7^m*1^n. Donc 7^(m+3n)C7^m, donc bel et bien : 7^4444C7
Donc 4444^4444C7 mod 9.
car la relation de congruence est transitive, et commutative.
En base 10, un nombre fait partie de la classe 0*, la somme finale de ses chiffres sera 0 (9), si un nombre entier positif fait partie de la classe 1* {1, 10, 19, 28, ...], la somme finale de ses chiffres sera 1.
Comme 4444^4444C7 mod 9, en base 10, 4444^4444 et 7 auront pour somme finale des chiffres la même, et celle-ci est évidemment 7.
Donc la somme finale des chiffres de 4444^4444 est 7.
Mais tu as dit "la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de 4444^4444", je ne suis pas sûr que ce soit 7, mais ce sera un nombre de la classe 7*, congruent à 7 modulo 9.
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
aie mal a la tete
mais bon la somme de 4444^4444 je vois pas comment ca peut faire que 7
u que ca fait dans les 16200 chiffre la somme est environ 16200*5
apres faut recommencer l operation pour avoir la somme de la somme
etc
bon si j ai bien suiva la demo congru machin truc
c est soit 7 soit 7 mod 9 donc 16 etc
il y a 16211 chiffre au pire la somme est 9*16211 =81055
la somme de 81055 au pire = 9*6 = 54
la somme de 54 au pire 5+9=14
donc ca reponse de 7 est correct si ca demo est bonne
Si tu fais la somme finale, càd jusqu'à obtenir un nombre à un seul, chiffre, tu dois arriver de 0 à 8 (le 9 devenant 0).
Mais, il a dit "la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de 4444^4444". Il n'a effectué que trois fois cette "opération". Alors peut-être obtient-il un nombre à un seul chiffre, peut-être obtient-il un nombre à plusieurs chiffres.
Mais tu dis que le nombre 4444^4444 a 16211 chiffres.
Admettons au pire que tous ces chiffres soient des 9, la somme des chiffres est donc 9*16211=145899.
La somme des chiffres de 145899 est 36.
La somme des chiffres de 36 est 9, soit 0, donc bien un nombre à un seul chiffre.
Et comme on vient de chercher pour le nombre le plus grand à 16211 chiffres, la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de 4444^4444 a bel et bien un seul chiffre.
Corrigez-moi tout de suite. Je suis pas sûr de ce que je dis.
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
ca y est j ai compris ta demo
c est simple suffit d utiliser la preuve par 9
4444 *4444 preuve par 9 ca fait 7 * 7 = 49 -> 4
4444 *4444 *4444*4444 ca fait 7 en preuve par 9
faut en faire 1111 donc on prend 4 *277 =1108 pour reste a 7
les 3 dernier 4444 *4444 *4444 ca fait 1 donc le tous fait 7
encore gagné...vous etes trop fort.(mais je pense que celle-ci vous a pris un peu plus de temps.)
allé , je continu:
éssayez de résoudre cette équation:
T W E N T Y +T W E N T Y +T W E N T Y + T E N + T E N = E I G H T Y
je croi que c'est connu.
(j'avais oublié de préciser que chaque lettre correspond a un chiffre)
Dernière modification par boardingman ; 08/10/2004 à 20h41. Motif: précision
